Majorer une intégrale de sommes de fonctions usuelles à l'aide d'une comparaison avec une autre fonction Exercice

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\sqrt{x + 1} + \ln{\left(x + 1 \right)} \leq \dfrac{3 x}{2} + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} + \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{3x^2}{4} +x\right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{7}{4}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} + \dfrac{1}{x + 1} \leq x^{2} + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x + 1} \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{1} x^{2} + 1 \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{1} x^{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^3}{3}+x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} x^{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{4}{3}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\sqrt{x + 1} + \sin{\left(x \right)} \leq \dfrac{3 x}{2} + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} + \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{3x^2}{4}+x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{7}{4}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\ln{\left(1 - x \right)} + \sin{\left(x \right)} \leq - \dfrac{x^{2}}{2}

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \ln{\left(1 - x \right)} + \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{3}}{6} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x = - \frac{1}{6}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{4} \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \leq - \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ - \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^2}{2} + x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = - \dfrac{\pi^3}{384}+\dfrac{\pi^2}{32}+\dfrac{\pi}{4}