Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{1}^{2} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx + \int_{2}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles. En effet, pour une fonction f intégrable sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{1}^{2} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx + \int_{2}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx = \int_{1}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx
On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.
Ici :
f = u + 2 v
Avec :
u(x) = - x
et
v(x) = \frac{1}{x}
Or, une primitive de u sur [1;3] est la fonction U définie par :
U(x) = - \frac{x^{2}}{2}
Et une primitive de v sur [1;3] est la fonction V définie par :
V(x) = \ln{\left(x \right)}
Donc :
\int_{1}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx = \int_{1}^{3} - x \,dx + 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \,dx
\int_{1}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx = \left[ - \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{3} + 2 \left[ \ln{\left(x \right)} \right]_{1}^{3}
\int_{1}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx = \left( -4 \right) + 2 \left( \ln{\left(3 \right)} \right)
\int_{1}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx = -4 + 2 \ln{\left(3 \right)}
Ainsi, \int_{1}^{2} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx + \int_{2}^{3} \left( - x + \frac{2}{x} \right) \,dx = -4 + 2 \ln{\left(3 \right)} .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles. En effet pour une fonction f intégrable sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = \int_{0}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx
On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.
Ici :
f = u + v
Avec :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
v(x) = - \sin{\left(x \right)}
Or, une primitive de u sur [0;\pi] est la fonction U définie par :
U(x) = \sin{\left(x \right)}
Et une primitive de v sur [0;\pi] est la fonction V définie par :
V(x) = \cos{\left(x \right)}
Donc :
\int_{0}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = \int_{0}^{\pi} \cos{\left(x \right)} \,dx + \int_{0}^{\pi} -
\sin{\left(x \right)} \,dx
\int_{0}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = \left[ \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\pi} + \left[ \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\pi}
\int_{0}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = \left( 0 \right) + \left( -2 \right)
\int_{0}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = -2
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = -2 .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{0}^{1} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles. En effet pour une fonction f intégrable sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{0}^{1} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx = \int_{0}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx
On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.
Ici :
f = 2 u + 3 v
Avec :
u(x) = - x^{2}
et
v(x) = \sqrt{x}
Or, une primitive de u sur [0;2] est la fonction U définie par :
U(x) = - \frac{x^{3}}{3}
Et une primitive de v sur [0;2] est la fonction V définie par :
V(x) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}
Donc :
\int_{0}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx = 2 \int_{0}^{2} - x^{2} \,dx + 3 \int_{0}^{2} \sqrt{x} \,dx
\int_{0}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx = 2 \left[ - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2} + 3 \left[ \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \right]_{0}^{2}
\int_{0}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx = 2 \left( - \frac{8}{3} \right) + 3 \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right)
\int_{0}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx = - \frac{16}{3} + 4 \sqrt{2}
Ainsi, \int_{0}^{1} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( 3 \sqrt{x} - 2 x^{2} \right) \,dx = - \frac{16}{3} + 4 \sqrt{2} .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{1}^{2} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles. En effet pour une fonction f intégrable sur un intervalle [a;b] , pour c \in [;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{1}^{2} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx = \int_{1}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx
On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.
Ici :
f = u + 2 v
Avec :
u(x) = 3 x
et
v(x) = x^{2}
Or, une primitive de u sur [1;4] est la fonction U définie par :
U(x) = \frac{3 x^{2}}{2}
Et une primitive de v sur [1;4] est la fonction V définie par :
V(x) = \frac{x^{3}}{3}
Donc :
\int_{1}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx = \int_{1}^{4} 3 x \,dx + 2 \int_{1}^{4} x^{2} \,dx
\int_{1}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx = \left[ \frac{3 x^{2}}{2} \right]_{1}^{4} + 2 \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{4}
\int_{1}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx = \left( \frac{45}{2} \right) + 2 \left( 21 \right)
\int_{1}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx = \frac{129}{2}
Ainsi, \int_{1}^{2} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx = \frac{129}{2} .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{1}^{2} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles. En effet pour une fonction f intégrable sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{1}^{2} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = \int_{1}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx
On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.
Ici :
f = 2 u + 3 v
Avec :
u(x) = e^{x}
et
v(x) = - x^{3}
Or, une primitive de u sur [1;4] est la fonction U définie par :
U(x) = e^{x}
Et une primitive de v sur [1;4] est la fonction V définie par :
V(x) = - \frac{x^{4}}{4}
Donc :
\int_{1}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = 2 \int_{1}^{4} e^{x} \,dx + 3 \int_{1}^{4} - x^{3} \,dx
\int_{1}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = 2 \left[ e^{x} \right]_{1}^{4} + 3 \left[ - \frac{x^{4}}{4} \right]_{1}^{4}
\int_{1}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = 2 \left( - e + e^{4} \right) + 3 \left( - \frac{255}{4} \right)
\int_{1}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = - \frac{765}{4} - 2 e + 2 e^{4}
Ainsi, \int_{1}^{2} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( - 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = - \frac{765}{4} - 2 e + 2 e^{4} .