Calculer une intégrale d'une fonction usuelle en passant par la primitive directement Exercice

Une primitive de x \mapsto x est F(x) = \dfrac{x^2}{2} .

On a :
\int_{0}^{1} x \, \mathrm{d}x = F(1) - F(0) = \dfrac{1^2}{2} - \dfrac{0^2}{2}

Une primitive de x \mapsto \dfrac{2}{x^2}  est :
F(x) = 2 \int \dfrac{1}{x^2}
F(x) = -2 \int \left(- \dfrac{1}{x^2} \right)

Or, une primitive de x \mapsto \left(- \dfrac{1}{x^2} \right) est x \mapsto \dfrac{1}{x} .

Donc :
F(x) = \dfrac{-2}{x} 

On a :
\int_{1}^{5} \dfrac{2}{x^2} \, \mathrm{d}x = F(5) - F(1) = \dfrac{-2}{5} -  \left( \dfrac{-2}{1} \right) 
\int_{1}^{5} \dfrac{2}{x^2} \, \mathrm{d}x = - \dfrac{2}{5} + 2 

Une primitive de x \mapsto \cos(x)  est F(x) = \sin(x) .

On a :
\int_{0}^{\pi} \cos(x) = F(\pi) - F(0) = \sin(\pi) - \sin(0)
\int_{0}^{\pi} \cos(x) = 0 - 0 = 0 

Une primitive de x \mapsto \dfrac{x^2+1}{3}  est :
F(x) = \dfrac{1}{3} \int x^2 +  \dfrac{1}{3} \int 1 
F(x) = \dfrac{1}{3} \dfrac{x^3}{3} +  \dfrac{1}{3} x 
F(x) = \dfrac{x^3}{9} +  \dfrac{x}{3} 
F(x) = \dfrac{x^3 + 3x}{9} 

On a :
\int_{0}^{1} \dfrac{x^2+1}{3} \, \mathrm{d}x = F(1) - F(0) = \dfrac{1^3 + 3 \times 1}{9} - \dfrac{0^3 + 3 \times 0}{9}

Une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}  est :
F(x) = \int \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
F(x) = 2 \sqrt{x}

On a :
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x = F(2) - F(1) = 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{1}