Que représente l'intégrale suivante ?
\int_{0}^{1} x^2 \,\mathrm{d}x
On sait que si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] de \mathbb{R}, alors l'intégrale \int_{a}^{b}f(t)\, \mathrm{d}t est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
Ici, la fonction que l'on intègre est la fonction carré, qui est continue et positive sur l'intervalle [0;1].
Donc \int_{0}^{1} x^2 \,\mathrm{d}x correspond à l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction x \mapsto x^2 , l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.
Que représente l'intégrale suivante ?
\int_{0}^{\pi} \sin(x) \,dx
On sait que si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] de \mathbb{R}, alors l'intégrale \int_{a}^{b}f(t)\, \mathrm{d}t est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
Ici, la fonction que l'on intègre est x \mapsto \sin(x) .
La fonction \sin est positive ou nulle sur l'intervalle [0;\pi].
Donc l'intégrale correspond à l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction x \mapsto \sin(x) , les droites d'équation x = -\pi et x = \pi et l'axe des abscisses.
Que représente l'intégrale suivante ?
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \,dx
On sait que si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] de \mathbb{R}, alors l'intégrale \int_{a}^{b}f(t)\, \mathrm{d}t est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
Ici, la fonction que l'on intègre est x \mapsto \dfrac{1}{x} . Cette aire, en unités d'aire, est positive car 2 > 1 et \dfrac{1}{x} > 0 sur [1;2] .
Donc l'intégrale correspond à l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} , les droites d'équation x = 1 et x = 2 et l'axe des abscisses.
Que représente l'intégrale suivante ?
\int_{-1}^{0} x \,dx
Si f est une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] de \mathbb{R}, alors l'intégrale \int_{a}^{b}f(t)\, \mathrm{d}t est l'opposé de l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
Ici, la fonction x\mapsto x est négative ou nulle sur [-1;0].
Cette intégrale correspond donc à l'opposé de l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de x\mapsto x, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=0.
L'intégrale correspond donc à l'opposé de l'aire du triangle rectangle isocèle de côté de longueur 1.
Que représente l'intégrale suivante ?
\int_{0}^{1} 1 \,dx
On sait que si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] de \mathbb{R}, alors l'intégrale \int_{a}^{b}f(t)\, \mathrm{d}t est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
Ici, la fonction que l'on intègre est x \mapsto 1 .
Cette fonction est positive ou nulle sur l'intervalle [0;1].
L'intégrale correspond donc à l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe de x\mapsto 1, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.
L'intégrale correspond donc à l'aire positive du carré de côté de longueur 1.