Etudier une suite d'intégrales sans relation de récurrence Problème

D'après les règles de calcul de la fonction exponentielle :
\forall x\in\mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1}{e^{x\ln(2)}}=e^{-x\ln(2)}

Pour trouver une primitive de f sur \mathbb{R} il faut reconnaître une forme du type u'e^u. 

Dans le cas présent, en posant u(x) = -xln(2), on a :
u'(x) = -\ln(2) pour tout réel x

Comme f(x) = \dfrac{-1}{\ln(2)} \times (-ln(2)e^{-xln(2)} pour tout réel x, on obtient : 
f(x)=\dfrac{-1}{\ln(2)}u'(x)e^{u(x)} pour tout réel x, soit f=\dfrac{-1}{\ln(2)}u'e^{u}.

Or, une primitive de u'e^u est, d'après le cours, e^u.

Finalement, une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F définie sur \mathbb{R} par : 
F(x)=-\dfrac{1}{\ln(2)}e^{-x\ln(2)} 

D'après la question précédente, une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F définie sur \mathbb{R} par : 
F(x)=-\dfrac{1}{\ln(2)}e^{-x\ln(2)}

Ainsi :
u_n=\int_0^n f(x) \,\mathrm{d}x = \left[F(x)\right]^n_0=F(n)-F(0) = -\dfrac{1}{\ln(2)}e^{-n\ln(2)}+\dfrac{1}{\ln(2)}e^{-0\ln(2)}=\dfrac{1}{\ln(2)}-\dfrac{1}{\ln(2)}e^{-n\ln(2)}

D'après la question précédente : 
u_n=\dfrac{1}{\ln(2)}-\dfrac{1}{\ln(2)}e^{-n\ln(2)} pour tout entier naturel n

\lim \limits_{n \to +\infty}-nln(2)=-\infty car \ln(2)>0. 

Or \lim \limits_{x\to -\infty }e^x=0.

Par composition de limites, on en déduit :
\lim \limits_{n \to +\infty} e^{-x\ln(2)}=0

De plus, \lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\ln(2)} = \dfrac{1}{\ln(2)}. 

En utilisant les opérations sur les limites usuelles, on obtient :
\lim \limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{1}{\ln(2)} + 0 = \dfrac{1}{\ln(2)}