Soit f la fonction définie sur [0 ;1] telle que f(x) = x \ln(x) .
On note \mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthogonal, et \mathcal{A} l'aire du domaine délimité entre la courbe \mathcal{C} , l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1 .
On cherche à calculer cette intégrale par la méthode des milieux.
Quelle est la largueur des rectangles suivants ?
L'intervalle [0;1] est découpé en n = 10 intervalles de même taille.
Par conséquent, la largueur des rectangles est : L = \dfrac{b-a}{n} = \dfrac{1-0}{10} = 0{,}1 .
Pour construire le k -ème rectangle, on prend l'image du nombre x situé au milieu des nombres \frac{k}{n} et \frac{ k + 1}{n}.
Quelle est la hauteur h_k du rectangle k ?
Les rectangles sont de largeur \dfrac{b-a}{n} = 0{,}1 . Pour calculer la hauteur, on cherche l'image du point situé au milieu de x = \dfrac{k}{n} et x = \dfrac{k+1}{n} .
On a :
f\left( \dfrac{ \dfrac{k+1}{n} + \dfrac{k}{n}}{2} \right) = f\left( \dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right)
Donc, la fonction étant négative sur [0{,}1], le rectangle est de hauteur h_k = -f\left( \dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right) .
Quelle est l'aire du k -ème rectangle ?
L'aire du rectangle se calcule en multipliant la largeur de 0{,}1 avec la hauteur :
h_k =-f\left( \dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right)
h_k = -\left( \dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right) \times \ln\left(\dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right)
Ainsi, C_k =- 0{,}1 \times \left( \dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right) \times \ln\left(\dfrac{k}{n} + \dfrac{1}{2n} \right) .
Quel programme Python renvoie l'aire sous la courbe représentative de la fonction x \mapsto x^2 sur l'intervalle [0;1] en l'approchant par n = 20 rectangles ?
On utilise une boucle Python pour additionner les aires de chaque rectangle, et à chaque étape k, cette aire est l'aire d'un rectangle de largeur (b-a)/n) et de hauteur -f\left( a+k\times (b-a)/n\right). On incrémente donc la variable « integrale » de chaque aire, ce qui au final donne une approximation de l'intégrale.
Ainsi, le code Python pour calculer l'aire sous la courbe de la fonction x \mapsto x \ln(x) sur [0;1] est :
\verb/ import math /
\verb/ f = lambda x: math.log(x) /
\verb/ a = 0 /
\verb/ b = 1 /
\verb/ n = 10 /
\verb/ integrale = 0 /
\verb/ for k in range(0, n): /
\verb# largeur = (b-a)/n #
\verb# hauteur = f(k*(b-a)/n + 1./(2*n)) #
\verb/ aire = largeur * hauteur /
\verb/ integrale += aire /
\verb/ print(integrale) /