Majorer une intégrale de combinaison linéaire de fonctions usuelles et de composition de fonctions usuelles à l'aide d'une comparaison avec une autre fonction Exercice

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ -1; 0 \right] , on a :
- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \leq - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} - x + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{-1}^{0} - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} - x + 1 \right) \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} - x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x \right]_{-1}^{0}
\int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} - x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(0\right)-\left(- \frac{11}{8}\right)
\int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} - x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{11}{8}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ -1; 0 \right] , on a :
\ln{\left(1 - x \right)} - \sin{\left(x \right)} \leq - \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x

On peut passer à l'intégrale :
\int_{-1}^{0} \ln{\left(1 - x \right)} - \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x \right) \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x \right) \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{6} - x^{2} \right]_{-1}^{0}
\int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x \right) \, \mathrm{d}x = \left(0\right)-\left(- \frac{23}{24}\right)
\int_{-1}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x \right) \, \mathrm{d}x = \frac{23}{24}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ -1; 1 \right] , on a :
\ln{\left(1 - x \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} \leq - \frac{x^{2}}{2}

On peut passer à l'intégrale :
\int_{-1}^{1} \ln{\left(1 - x \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{-1}^{1} \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{-1}^{1} \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{3}}{6} \right]_{-1}^{1}
\int_{-1}^{1} \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left(- \frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1}{6}\right)
\int_{-1}^{1} \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) \, \mathrm{d}x = - \frac{1}{3}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ -1; 0 \right] , on a :
e^{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \leq x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) - 1 + e

On peut passer à l'intégrale :
\int_{-1}^{0} e^{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \, \mathrm{d}x \leq \int_{-1}^{0} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) - 1 + e \right) \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{-1}^{0} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) - 1 + e \right) \, \mathrm{d}x = \left[ x^{3} \left(- \frac{1}{6} + \frac{e}{6}\right) + x^{2} \left(- \frac{e}{2} - \frac{1}{2}\right) + x \left(-1 + e\right) \right]_{-1}^{0}
\int_{-1}^{0} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) - 1 + e \right) \, \mathrm{d}x = \left(0\right)-\left(\frac{2}{3} - \frac{5 e}{3}\right)
\int_{-1}^{0} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) - 1 + e \right) \, \mathrm{d}x = - \frac{2}{3} + \frac{5 e}{3}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{1 - x} + \ln{\left(1 - x \right)} \leq x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) + e

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} e^{1 - x} + \ln{\left(1 - x \right)} \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{1} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) + e \right) \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{1} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) + e \right) \, \mathrm{d}x = \left[ x^{3} \left(- \frac{1}{6} + \frac{e}{6}\right) + x^{2} \left(- \frac{e}{2} - \frac{1}{2}\right) + e x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) + e \right) \, \mathrm{d}x = \left(- \frac{2}{3} + \frac{2 e}{3}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \left( x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + x \left(- e - 1\right) + e \right) \, \mathrm{d}x = - \frac{2}{3} + \frac{2 e}{3}