Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} x \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x, on pose u(x)= x et v'(x)= \sin{\left(x \right)} .
On peut alors choisir v(x)= - \cos{\left(x \right)} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}- \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} x \sin{\left(x \right)} \,dx = \left[ - x \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \cos{\left(x \right)} \,dx
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} x \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - x \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto - \cos{\left(x \right)} est :
x \mapsto - \sin\left(x \right)
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} - \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} - \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Donc :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} x \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left( - \dfrac{\sqrt{2} \pi}{8} \right) - \left( - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)
Ainsi, \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} x \sin{\left(x \right)} \,dx = - \dfrac{\sqrt{2} \pi}{8} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x, on pose u(x)= x^{2} et v'(x)= \cos{\left(x \right)} .
On peut alors choisir v(x)= \sin{\left(x \right)} et on a u'(x)= 2 x , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^{2} \cos{\left(x \right)} \,dx = \left[ x^{2} \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2 x \sin{\left(x \right)} \,dx
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ x^{2} \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2 x \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
On va déterminer la valeur de \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2 x \sin\left(x \right) \,\mathrm{d}x en réutilisant la formule d'intégration par parties.
Pour tout réel x, on pose w(x)= 2x et z'(x)= \sin(x) .
On peut alors choisir z(x)= -\cos(x) et on a w'(x)= 2 , pour tout réel x.
Les fonctions w et z ainsi définies sont telles que w' et z' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} w(x)z'(x) \,\mathrm{d}x= \left[w(x)z(x)\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} w'(x)z(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2 x \sin(x) \,\mathrm{d}x =\left[-2x\cos(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2\cos(x)\,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto -2 \cos(x) est :
x\mapsto -2\sin(x)
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2\cos(x)\,\mathrm{d}x=\left[-2\sin(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-2
On en déduit :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 2 x \sin(x) \,\mathrm{d}x =0-(-2)=2
Puis :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^{2} \cos(x) \,\mathrm{d}x = \left( \frac{\pi^{2}}{4} \right) - \left( 2 \right)
Ainsi, \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -2 + \dfrac{\pi^{2}}{4} .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{1} x e^{x} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x, on pose u(x)= x et v'(x)= e^{x} .
On peut alors choisir v(x)= e^{x} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{1} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{1}- \int_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{1} x e^{x} \,dx = \left[ x e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} \,dx
\int_{0}^{1} x e^{x} \,\mathrm{d}x = \left[ x e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto e^{x} est :
x\mapsto e^x
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{1} e^{x} \,\mathrm{d}x = \left[ e^{x} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} e^{x} \,\mathrm{d}x = -1 + e
Donc :
\int_{0}^{1} x e^{x} \,\mathrm{d}x = \left( e \right) - \left( -1 + e \right)
Ainsi, \int_{0}^{1} x e^{x} \,\mathrm{d}x = 1 .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x>0, on pose u(x)= \ln{\left(x \right)} et v'(x)= x .
On peut alors choisir v(x)= \dfrac{x^{2}}{2} et on a u'(x)= \dfrac{1}{x} , pour tout réel x>0.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur ]0 ; +\infty[.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,dx = \left[ \dfrac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \dfrac{x}{2} \,dx
\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{2} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur ]0;+\infty[ de x \mapsto \dfrac{x}{2} est :
x\mapsto \dfrac{x^2}{4}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{1}^{2} \frac{x}{2} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2}}{4} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \frac{x}{2} \,\mathrm{d}x = \frac{3}{4}
Donc :
\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left( 2 \ln{\left(2 \right)} \right) - \left( \frac{3}{4} \right)
Ainsi, \int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \frac{3}{4} + 2 \ln{\left(2 \right)} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x>0, on pose u(x)= \ln{\left(x \right)} et v'(x)= 1 .
On peut alors choisir v(x)= x et on a u'(x)= \frac{1}{x} , pour tout réel x>0.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur ]0;+\infty[.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ x \ln{\left(x \right)} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x
\int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ x \ln{\left(x \right)} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur ]0;+\infty[ de x \mapsto 1 est :
x\mapsto x
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x = \left[ x \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x = 1
Donc :
\int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left( 2 \ln{\left(2 \right)} \right) - \left( 1 \right)
Ainsi, \int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -1 + 2 \ln{\left(2 \right)} .