Soit f la fonction définie sur [0 ;1] telle que f(x) = \sqrt{x} .
On note \mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthogonal, et \mathcal{A} l'aire du domaine délimité par entre la courbe \mathcal{C} , l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1 .
On cherche à calculer cette intégrale par la méthode des trapèzes.
Quelle est la surface du trapèze ABED ?
La surface du trapèze ABED est la somme de la surface du rectangle ABCD et du triangle rectangle BCE .
Or :
\mathcal{A}_{ABCD} = (b-a) \times f(a)
et
\mathcal{A}_{BCE} = \dfrac{b-a}{2} \left( f(b) - f(a) \right)
Ainsi :
\mathcal{A}_{ABED} = (b-a) \times f(a) + \dfrac{b-a}{2} \left( f(b) - f(a) \right)
\mathcal{A}_{ABED} = \dfrac{b-a}{2} \left( 2f(a) + f(b) - f(a) \right)
Donc \mathcal{A}_{ABED} = \dfrac{b-a}{4} \left( f(a) + f(b) \right) .
On commence par subdiviser le segment [0;1] en n segments de même longueur, ce qui permet de définir :
x_0=0,x_1,\dots,x_{n}=1 avec x_{k+1}-x_k=1/n.
Ensuite, le k -ème trapèze est construit comme dans la question précédente, avec a=x_{k} et b=x_{k+1}.
Quelle est l'aire \mathcal{A}_k du trapèze ainsi obtenu ?
On applique la formule de l'aire du trapèze :
\mathcal{A}_{ABED} = \dfrac{b-a}{2} \left( f(a) + f(b) \right)
Avec :
a=x_k = \frac{k}{n}
b =x_{k+1}= \frac{k+1}{n}
Donc :
\mathcal{A}_{k} = \dfrac{1}{2n} \left( f(x_k) + f(x_{k+1}) \right)=\dfrac{1}{2n} \left( \sqrt{\frac{k}{n}} + \sqrt{\frac{k+1}{n}} \right)
Ainsi, \mathcal{A}_{k} = \dfrac{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} }{2n\sqrt{n}} .
Quel programme Python renvoie l'aire sous la courbe représentative de la fonction x \mapsto \sqrt{x} sur l'intervalle [0;1] en l'approchant par n = 10 trapèzes ?
On utilise une boucle Python pour additionner les aires de chaque trapèze, qui se fait en incrémentant la variable « integrale ».
Ainsi, le code Python pour calculer l'aire sous la courbe de la fonction x \mapsto \sqrt{x} sur [0;1] est :
\verb/ import math /
\verb/ f = lambda x: math.sqrt(x) /
\verb/ a = 0 /
\verb/ b = 1 /
\verb/ n = 10 /
\verb/ integrale = 0 /
\verb/ for k in range(0, n): /
\verb# xk = k/n #
\verb# yk = (k+1)/n #
\verb# aire = (b-a)/(2*n) * (f(xk) + f(yk)) #
\verb/ integrale += aire /
\verb/ print(integrale) /