Soient a, b \in \mathbb{R} avec a < b .
Soit f : [a, b] \mapsto \mathbb{R} une fonction continue positive.
On appelle intégrale de a à b de f et on note :
\int_{a}^{b} f(x) \, dx
Comment est définie \int_{a}^{b} f(x) \, dx ?
Par définition, l'intégrale d'une fonction f continue sur [a;b] représente l'aire entre la courbe représentative de la fonction et l'axe des abscisses comprise entre les droites x = a et x = b .
L'aire sous la courbe est appelée hypographe.
Ainsi, l'intégrale représente la mesure de l'aire de l'hypographe de f .
Soit f : [a;b] \mapsto \mathbb{R} une fonction continue positive, que l'on suppose croissante.
On note F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt .
Quel est le taux d'accroissement de F en x ?
Le taux d'acroissement d'une fonction au point x est le taux entre les points x et x+h , avec h > 0 .
Ce taux s'écrit : \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} .
Soit f : [a;b] \mapsto \mathbb{R} une fonction continue positive, que l'on suppose croissante.
On note F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt .
Quelle inéquation est vraie ?
La quantité F(x + h) - F(x) est l'aire de l'hypographe entre les abscisses x et x + h . Cette aire est comprise entre deux rectangles de largeur h et de longueurs f(x) et f(x+h) .
Le premier rectangle a pour aire h \times f(x) et le second h \times f(x+h) .
On a donc :
h \times f(x) \leq F(x + h) - F(x) \leq h \times f(x + h)
On en déduit que f(x) \geq \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \geq f(x+h) .
Que peut-on dire de F'(x) ?
On a :
f(x) \geq \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \geq f(x+h)
Quand h tend vers 0 , comme f est continue, les valeurs à droite et à gauche tendent vers f(x) .
D'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)
Or, par définition de la limite du taux d'accroissement :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} = F'(x)
Par unicité de l'existence de la limite, on a donc F'(x) = f(x) .
Soit f : [a;b] \mapsto \mathbb{R} une fonction continue positive.
On note F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt .
Parmi les propositions suivantes, quelle affirmation est vraie ?
On a montré que F'(x) = f(x) donc F est une primitive de f .
De plus, F(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0 .
Ainsi, F est l'unique primitive de f qui s'annule en a .