Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{\frac{x}{3}} \geq \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + 1
Que peut-on dire de \int_{0}^{1} e^{\frac{x}{3}} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{\frac{x}{3}} \geq \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} e^{\frac{x}{3}} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + 1 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{54} + \frac{x^{2}}{6} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{32}{27}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{3} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{32}{27}
Donc \int_{0}^{1} e^{\frac{x}{3}} \, \mathrm{d}x \geq \frac{32}{27} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x^{2}} \geq \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1
Que peut-on dire de \int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x^{2}} \geq \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{1} \left( \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{43}{30}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{43}{30}
Donc \int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x \geq \frac{43}{30} .
Sachant que pour x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; 0 \right] , on a :
\sin{\left(3 x \right)} \geq - \frac{9 x^{3}}{2} + 3 x
Que peut-on dire de \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(3 x \right)} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; 0 \right] , on a :
\sin{\left(3 x \right)} \geq - \frac{9 x^{3}}{2} + 3 x
On peut passer à l'intégrale :
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(3 x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \left( - \frac{9 x^{3}}{2} + 3 x \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \left( - \frac{9 x^{3}}{2} + 3 x \right) \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{9 x^{4}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} \right]_{- \frac{\pi}{2}}^{0}
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \left( - \frac{9 x^{3}}{2} + 3 x \right) \, \mathrm{d}x = \left(0\right)-\left(- \frac{9 \pi^{4}}{128} + \frac{3 \pi^{2}}{8}\right)
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \left( - \frac{9 x^{3}}{2} + 3 x \right) \, \mathrm{d}x = - \frac{3 \pi^{2}}{8} + \frac{9 \pi^{4}}{128}
Donc \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(3 x \right)} \, \mathrm{d}x \geq - \frac{3 \pi^{2}}{8} + \frac{9 \pi^{4}}{128} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a :
e^{x^{2}} \geq x^{2} + 1
Que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a :
e^{x^{2}} \geq x^{2} + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{\pi^{3}}{24} + \frac{\pi}{2}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( x^{2} + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^{3}}{24} + \frac{\pi}{2}
Donc \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x \geq \frac{\pi^{3}}{24} + \frac{\pi}{2} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
- \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} \geq - x^{2}
Que peut-on dire de \int_{0}^{1} - \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
- \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} \geq - x^{2}
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} - \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{1} \left( - x^{2} \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{0}^{1} \left( - x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( - x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left(- \frac{1}{3}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \left( - x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = - \frac{1}{3}
Donc \int_{0}^{1} - \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} \, \mathrm{d}x \geq - \frac{1}{3} .