Calculer une intégrale de combinaison linéaire de fonctions usuelles et de composition de fonctions usuelles en passant par la primitive directement Exercice

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonction.

Ici, f est de la forme :
f =  u + 2 v

Avec :
u(x) = x
et
v(x) = \frac{1}{x}

Or, une primitive de u sur l'intervalle [1;2] est :
U:x\longmapsto \frac{x^{2}}{2}

Et une primitive de v sur l'intervalle [1;2] est :
V:x\longmapsto \ln{\left(x \right)}

Donc :
\int_{1}^{2} \left( x + \frac{2}{x} \right) \,dx =  \int_{1}^{2} x \,dx + 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \,dx
\int_{1}^{2} \left( x + \frac{2}{x} \right) \,dx =  \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{2} + 2 \left[ \ln{\left(x \right)} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( x + \dfrac{2}{x} \right) \ \mathrm \,dx = \left( \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2} \right)+2\left( \ln(2)-\ln(1) \right)
\int_{1}^{2} \left( x + \frac{2}{x} \right) \,dx =  \left( \frac{3}{2} \right) + 2 \left( \ln{\left(2 \right)} \right)

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonction.

Ici, f est de la forme :
f =  u +  v

Avec :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
v(x) = \sin{\left(x \right)}

Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est :
U:x\longmapsto \sin{\left(x \right)}

Et une primitive de v sur \mathbb{R} est :
V:x\longmapsto - \cos{\left(x \right)}

Donc :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx =  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \,dx
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx =  \left[ \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} +  \left[ - \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left( \sin(x)+\cos(x) \right) \ \mathrm \,dx=\left( \sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right)-\sin(0) \right)+\left( -\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right)+\cos(0) \right)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right) \,dx =  \left( 1 \right) +  \left( 1 \right)

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonction.

Ici, f est de la forme :
f = 2 u + v

Avec :
u(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}
et
v(x) = 2x\text{e}^{x^2}

Or, une primitive de u sur ]0;+\infty[ est :
U:x\longmapsto 2\sqrt{x}

Et une primitive de v  sur \mathbb{R} est :
V:x\longmapsto \text{e}^{x^2}

Donc :
\int_{1}^{2} \left( \dfrac{3}{\sqrt{x}}  + 2 x \text{e}^{x^2} \right) \,dx =3\int_{1}^{2}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,d x+\int_{1}^{2}2x\text{e}^{x^2}\,d x
\int_{1}^{2} \left( \dfrac{3}{\sqrt{x}}  + 2 x \text{e}^{x^2} \right) \,dx =3\times \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{2}+\left[\text{e}^{x^2}\right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( \dfrac{3}{\sqrt{x}}  + 2 x \text{e}^{x^2} \right) \,dx =3\left(2\sqrt{2}-2\right)+\left(\text{e}^4-\text{e}\right)

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonction.

Ici, f est de la forme :
f =  u + 2 v

Avec :
u(x) = 3 x
et
v(x) = x^{2}

Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est :
U:x\longmapsto \dfrac{3 x^{2}}{2}

Et une primitive de v sur \mathbb{R} est :
V:x\longmapsto \dfrac{x^{3}}{3}

Donc :
\int_{1}^{2} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx =  \int_{1}^{2} 3 x \,dx + 2 \int_{1}^{2} x^{2} \,dx
\int_{1}^{2} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx =  \left[ \dfrac{3 x^{2}}{2} \right]_{1}^{2} + 2 \left[ \dfrac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( 2x^{2}+3x \right) \ \mathrm \,dx=\left( \dfrac{3\times2^{2}}{2}-\dfrac{3\times1^{2}}{2} \right)+2\left( \dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{1^{3}}{3} \right)
\int_{1}^{2} \left( 2 x^{2} + 3 x \right) \,dx =  \left( \dfrac{9}{2} \right) + 2 \left( \dfrac{7}{3} \right)

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonction.

Ici, f est de la forme :
f = 2 u + 3 v

Avec :
u(x) = e^{x}
et
v(x) = x^{3}

Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est :
U:x\longmapsto e^{x}

Et une primitive de v sur \mathbb{R} est :
V:x\longmapsto \frac{x^{4}}{4}

Donc :
\int_{1}^{2} \left( 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = 2 \int_{1}^{2} e^{x} \,dx + 3 \int_{1}^{2} x^{3} \,dx
\int_{1}^{2} \left( 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = 2 \left[ e^{x} \right]_{1}^{2} + 3 \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( 3x^{3}+2e^{x} \right) \ \mathrm \,dx=2\left( e^{2}-e^{1} \right)+3\left( \dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{1^{4}}{4} \right)
\int_{1}^{2} \left( 3 x^{3} + 2 e^{x} \right) \,dx = 2 \left( - e + e^{2} \right) + 3 \left( \frac{15}{4} \right)