Sachant que pour x \in \left[ 1; 2 \right] , on a :
e^{x} + \dfrac{1}{x} \geq x \left(-1 + e\right) + 2
Que peut-on dire de \int_{1}^{2} e^{x} + \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 1; 2 \right] , on a :
e^{x} + \dfrac{1}{x} \geq x \left(-1 + e\right) + 2
On peut passer à l'intégrale :
\int_{1}^{2} e^{x} + \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \geq \int_{1}^{2} \left( x \left(-1 + e\right) + 2 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{1}^{2} \left( x \left(-1 + e\right) + 2 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ x^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) + 2 x \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( x \left(-1 + e\right) + 2 \right) \, \mathrm{d}x = \left(2 + 2 e\right)-\left(\frac{e}{2} + \frac{3}{2}\right)
\int_{1}^{2} \left( x \left(-1 + e\right) + 2 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} + \frac{3 e}{2}
Donc \int_{1}^{2} e^{x} + \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \geq \frac{1}{2} + \frac{3 e}{2} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \geq - \dfrac{x^{3}}{6} - \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1
Que peut-on dire de \int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \geq - \dfrac{x^{3}}{6} - \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{1} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{0}^{1} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{31}{24}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \left( - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{31}{24}
Donc \int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{31}{24} .
Sachant que pour x \in \left[ 1; 2 \right] , on a :
\ln{\left(x \right)} + \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{x^{2}}{2} - 2 x + 1
Que peut-on dire de \int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 1; 2 \right] , on a :
\ln{\left(x \right)} + \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{x^{2}}{2} - 2 x + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \geq \int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{6} - x^{2} + x \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(- \frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1}{6}\right)
\int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = - \frac{5}{6}
Donc \int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \geq - \frac{5}{6} .
Sachant que pour x \in \left[ 1; 2 \right] , on a :
\sqrt{x} + \ln{\left(x \right)} \geq \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{1}{2}
Que peut-on dire de \int_{1}^{2} \sqrt{x} + \ln{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 1; 2 \right] , on a :
\sqrt{x} + \ln{\left(x \right)} \geq \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{1}{2}
On peut passer à l'intégrale :
\int_{1}^{2} \sqrt{x} + \ln{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{1}^{2} \left( \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2} \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{1}^{2} \left( \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left( \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left(2\right)-\left(\frac{1}{4}\right)
\int_{1}^{2} \left( \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2} \right) \, \mathrm{d}x = \frac{7}{4}
Donc \int_{1}^{2} \sqrt{x} + \ln{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{7}{4} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x} + \cos{\left(x \right)} \geq x + 2
Que peut-on dire de \int_{0}^{1} e^{x} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x} + \cos{\left(x \right)} \geq x + 2
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} e^{x} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{1} \left( x + 2 \right) \, \mathrm{d}x
Et :
\int_{0}^{1} \left( x + 2 \right) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2}}{2} + 2 x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( x + 2 \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{5}{2}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \left( x + 2 \right) \, \mathrm{d}x = \frac{5}{2}
Donc \int_{0}^{1} e^{x} + \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{5}{2} .