Etudier l'aire entre deux courbes menant à une combinaison linéaire de fonctions usuelles à l'aide d'une comparaison avec une autre fonction Exercice

On a :
- \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \leq \left( \sin{\left(x \right)} \right) - \left( - \cos{\left(x \right)}\right) \leq - \frac{x^{2}}{2} + x + 1

Or, le passage à l'intégrale conserve les inégalités :
\int_{0}^{2} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{2} \left( \left( \sin{\left(x \right)} \right) - \left( - \cos{\left(x \right)}\right) \right) \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x
\int_{0}^{2} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{2} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{2}  - \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x

Comme \sin(x)\geq -\cos(x) sur [0;2], la différence \int_{0}^{2} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{2}  - \cos{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x vaut exactement l'aire \mathcal{A} entre les deux courbes.

Donc :
\int_{0}^{2} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x  \leq \mathcal{A} \leq  \int_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x

On peut calculer les intégrales à droite et à gauche :
\int_{0}^{2} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x \right]_{0}^{2}
\int_{0}^{2} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \left(2\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{2} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = 2

Et :
\int_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x \right]_{0}^{2}
\int_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \left(\frac{8}{3}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{8}{3}

On a :
- \frac{x^{3}}{6} \leq \left( \sin{\left(x \right)} \right) - \left( \ln{\left(x + 1 \right)}\right) \leq \frac{x^{2}}{2}

Or, le passage à l'intégrale conserve les inégalités :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{1} \left( \left( \sin{\left(x \right)} \right) - \left( \ln{\left(x + 1 \right)}\right) \right) \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1}  \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x

Comme \sin(x)\geq \ln(x+1) sur [0;1], la différence \int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1}  \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x vaut exactement l'aire \mathcal{A} entre les deux courbes.

Donc :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} \, \mathrm{d}x  \leq \mathcal{A} \leq  \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x

On peut calculer les intégrales à droite et à gauche :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{24} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} \, \mathrm{d}x = \left(- \frac{1}{24}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} \, \mathrm{d}x = - \frac{1}{24}

Et : 
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{6} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x = \left(\frac{1}{6}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{6}

On a :
- x^{3} + \dfrac{x^{2}}{2} + 1 \leq \left( \ln{\left(x + 1 \right)} \right) - \left( - \dfrac{1}{x + 1}\right) \leq \dfrac{5 x^{2}}{6} + 1

Or, le passage à l'intégrale conserve les inégalités :
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \left( \left( \ln{\left(x + 1 \right)} \right) - \left( - \frac{1}{x + 1}\right) \right) \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \frac{5 x^{2}}{6} + 1 \, \mathrm{d}x
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{\dfrac{1}{2}}  - \frac{1}{x + 1} \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \frac{5 x^{2}}{6} + 1 \, \mathrm{d}x

Comme \ln(x+1)\geq -\dfrac{1}{x+1} sur \left[0; \dfrac{1}{2} \right], la différence \int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{0{,}5}  - \frac{1}{x + 1} \, \mathrm{d}x vaut exactement l'aire \mathcal{A} entre les deux courbes.

Donc :
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq \mathcal{A} \leq  \int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \frac{5 x^{2}}{6} + 1 \, \mathrm{d}x

On peut calculer les intégrales à droite et à gauche :
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^3}{6} + x \right]_{0}^{\dfrac{1}{2}}
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \dfrac{97}{192} 

Et :
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \frac{5 x^{2}}{6} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{5x^3}{18} + x \right]_{0}^{\dfrac{1}{2}}
\int_{0}^{\dfrac{1}{2}} \frac{5 x^{2}}{6} + 1 \, \mathrm{d}x = \dfrac{77}{144} 

On a :
- \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \leq \left( \sin{\left(x \right)} \right) - \left( - \sqrt{x + 1}\right) \leq \frac{3 x}{2} + 1

Or, le passage à l'intégrale conserve les inégalités :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{1} \left( \left( \sin{\left(x \right)} \right) - \left( - \sqrt{x + 1}\right) \right) \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1}  - \sqrt{x + 1} \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x

Comme \sin(x)\geq -\sqrt{x+1} sur \left[0; 1\right], la différence \int_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1}  - \sqrt{x + 1} \, \mathrm{d}x vaut exactement l'aire \mathcal{A} entre les deux courbes.

Donc :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq \mathcal{A} \leq  \int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x

On peut calculer les intégrales à droite et à gauche :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{24} + \frac{3 x^{2}}{4} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left(\frac{5}{3}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{5}{3}

Et :
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{3 x^{2}}{4} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left(\frac{7}{4}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \frac{3 x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{7}{4}

On a :
- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \leq \left( \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right) - \left( - \ln{\left(x + 1 \right)}\right) \leq \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1

Or, le passage à l'intégrale conserve les inégalités :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{1} \left( \left( \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right) - \left( - \ln{\left(x + 1 \right)}\right) \right) \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq  \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1}  - \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x \leq  \int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x

Comme \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\geq -\ln(x+1) sur \left[0; 1\right], la différence \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1}  - \ln{\left(x + 1 \right)} \, \mathrm{d}x vaut exactement l'aire \mathcal{A} entre les deux courbes.

Donc :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x  \leq \mathcal{A} \leq  \int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x

On peut calculer les intégrales à droite et à gauche :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{4} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left(\frac{13}{12}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{13}{12}

Et :
\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2}}{4} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \left(\frac{11}{8}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{11}{8}