Etudier l'aire entre deux courbes menant à une combinaison linéaire de fonctions usuelles à l'aide d'une comparaison avec une autre fonctionExercice

Quel est un encadrement de l'aire \mathcal{A} entre les courbes représentatives C_u et C_v des fonctions définies par u(x) = \sin{\left(x \right)}  et  v(x) = − \cos{\left(x \right)}  sur \left[0; 2 \right]  ?

On pourra utiliser le fait que :
− \frac{x^{3}}{6} − \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \leq \left( \sin{\left(x \right)} \right) − \left( − \cos{\left(x \right)}\right) \leq − \frac{x^{2}}{2} + x + 1

On admettra le fait que \sin(x)\geq -\cos(x) sur [0;2].

Quel est un encadrement de l'aire \mathcal{A} entre les courbes représentatives C_u et C_v des fonctions définies par u(x) = \sin{\left(x \right)}  et  v(x) = \ln{\left(x + 1 \right)}  sur \left[0; 1 \right] ?

On pourra utiliser le fait que :
− \frac{x^{3}}{6} \leq \left( \sin{\left(x \right)} \right) − \left( \ln{\left(x + 1 \right)}\right) \leq \frac{x^{2}}{2}

On admettra le fait que \sin(x)\geq \ln(x+1) sur [0;1].

Quel est un encadrement de l'aire \mathcal{A} entre les courbes représentatives C_u et C_v des fonctions définies par u(x) = \ln{\left(x + 1 \right)}  et  v(x) = − \dfrac{1}{x + 1}  sur \left[0; \dfrac{1}{2} \right] ?

On pourra utiliser le fait que :
− x^{3} + \dfrac{x^{2}}{2} + 1 \leq \left( \ln{\left(x + 1 \right)} \right) − \left( − \dfrac{1}{x + 1}\right) \leq \dfrac{5 x^{2}}{6} + 1

On admettra le fait que \ln(x+1)\geq -\dfrac{1}{x+1} sur \left[0; \dfrac{1}{2} \right].

Quel est un encadrement de l'aire \mathcal{A} entre les courbes représentatives C_u et C_v des fonctions définies par u(x) = \sin{\left(x \right)}  et  v(x) = − \sqrt{x + 1}  sur \left[0; 1 \right] ?

On pourra utiliser le fait que :
− \frac{x^{3}}{6} − \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} + 1 \leq \left( \sin{\left(x \right)} \right) − \left( − \sqrt{x + 1}\right) \leq \frac{3 x}{2} + 1

On admettra le fait que \sin(x)\geq -\sqrt{x+1} sur \left[0; 1\right].

Quel est un encadrement de l'aire \mathcal{A} entre les courbes représentatives C_u et C_v des fonctions définies par u(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}  et  v(x) = − \ln{\left(x + 1 \right)}  sur \left[0; 1 \right]  ?

On pourra utiliser le fait que :
− \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + 1 \leq \left( \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right) − \left( − \ln{\left(x + 1 \right)}\right) \leq \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{x}{2} + 1

On admettra le fait que \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\geq -\ln(x+1) sur \left[0; 1\right].