Calculer une intégrale de sommes de fonctions usuelles en passant par la primitive directement Exercice

Une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} + x^2 est :
F(x) = \int \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \int x^2
F(x) = 2 \int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{3} \int 3x^2

Or :
\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x}
et
\int 3x^2 = x^3

Donc :
F(x) = 2\sqrt{x} + \dfrac{x^3}{3}

On a :
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + x^2 \, \mathrm{d}x = F(2) - F(1)
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + x^2 \, \mathrm{d}x = 2\sqrt{2} + \dfrac{2^3}{3} - \left( 2\sqrt{1} + \dfrac{1^3}{3} \right)
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + x^2 \, \mathrm{d}x = 2\sqrt{2} + \dfrac{8}{3} - 2 - \dfrac{1}{3}

Une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3x}} + \dfrac{1}{\sqrt{2x}} est :
F(x) = \int \dfrac{1}{\sqrt{3x}} + \int \dfrac{1}{\sqrt{2x}}
F(x) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{2}{\sqrt{2}} \int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + C, C \in \mathbb{R}

Or :
\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x}
et
\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x}

Donc :
F(x) =\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{x} + \dfrac{2}{\sqrt{2}} \sqrt{x}
F(x) = 2 \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \sqrt{x}

On a :
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{3x}} + \dfrac{1}{\sqrt{2x}} \, \mathrm{d}x = F(2) - F(1)
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{3x}} + \dfrac{1}{\sqrt{2x}} \, \mathrm{d}x = 2 \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}} (\sqrt{2}-1)

Une primitive de x \mapsto \cos(x) + \sin(x) est :
F(x) = \int \cos(x) + \int \sin(x)
F(x) = \sin(x) + (-\cos(x))
F(x) = \sin(x) - \cos(x)

On a :
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos(x) + \sin(x) \, \mathrm{d}x = F\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - F(0)
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos(x) + \sin(x) \, \mathrm{d}x = (\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - \cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - (\sin(0) - \cos(0))
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos(x) + \sin(x) \, \mathrm{d}x = (1 - 0) - (0 - 1)
\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos(x) + \sin(x) \, \mathrm{d}x = 1 + 1 = 2

Une primitive de x \mapsto x^3 + \exp(2x) est :
F(x) = \int x^3 + \int \exp(2x)
F(x) = \dfrac{1}{4} \int 4x^3 + \dfrac{1}{2} \int 2 \exp(2x)

Or :
\int \int 4x^3 = x^4
et
\int 2 \exp(2x) = \exp(2x)

Donc :
F(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{2} \exp(2x)
F(x) = \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{\exp(2x)}{2}

On a :
\int_{0}^{1} x^4 + \exp(2x) \, \mathrm{d}x = F(1) - F(0)
\int_{0}^{1} x^4 + \exp(2x) \, \mathrm{d}x = \dfrac{1^4}{4} + \dfrac{\exp(2 \times 1)}{2} - \left( \dfrac{0^4}{4} + \dfrac{\exp(2 \times 0)}{2} \right)
\int_{0}^{1} x^4 + \exp(2x) \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\exp(2)}{2} - \dfrac{1}{2}

Une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{x^2} + 5 est :
F(x) = \int \dfrac{1}{x^2} + \int 5
F(x) = - \int \left(- \dfrac{1}{x^2} \right) + \int 5

Or :
\int \left(- \dfrac{1}{x^2} \right) = \dfrac{1}{x}
et
\int 5 = 5x

Donc :
F(x) = -\dfrac{1}{x} + 5x

On a :
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^2} + 5 \, \mathrm{d}x = F(2) - F(1)
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^2} + 5 \, \mathrm{d}x = -\dfrac{1}{2} + 5 \times 2 - (- \dfrac{1}{1} + 5 \times (1))
\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^2} + 5 \, \mathrm{d}x = -\dfrac{1}{2} + 10 + 1 - 5