Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes

On peut calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes en utilisant un calcul d'intégrales.

Soient f et g les fonctions définies sur [2;1] par :

f(x)=x3+x

g(x)=x3

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace les courbes représentatives de f et g. Calculer l'aire du domaine hachuré en cm2.

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Etape 1

Exprimer l'aire à calculer

On détermine les fonctions f et g et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle du domaine compris entre les courbe Cf et Cg et les droites d'équation x=a et x=b.

On cherche à calculer l'aire du domaine compris entre les courbes Cf et Cg et les droites d'équation x=2 et x=1.

Etape 2

Déterminer la position relative de Cf et Cg

On détermine la position relative de Cf et Cg sur [a;b].

On peut lire graphiquement que :

  • Cf est en dessous de Cg sur [2;0].
  • Cf est au-dessus de Cg sur [0;1].
Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si Cf est au-dessus de Cg sur [a;b], alors A=ba(f(x)g(x)) dx.
  • Si Cf est en dessous de Cg sur [a;b], alors A=ba(f(x)g(x)) dx=ba(g(x)f(x)) dx.
  • Si la position des deux courbes change sur [a;b], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

Cf est en dessous de Cg sur [2;0], et au-dessus sur [0,1]. On a donc :

A=02(f(x)g(x)) dx+10(f(x)g(x)) dx

Soit :

A=02(x3+xx3) dx+10(x3+xx3) dx

A=02x dx+10x dx

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de xx sur est xx22.

On a alors :

A=[x22]02+[x22]10

A=(022(2)22)+(122022)

Donc :

A=42+12=52

A vaut donc 52 u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k×n cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

A=52×4=10 cm2

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