Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Résoudre une équation avec la fonction exponentielle

Méthode 1

Si l'équation est du type eu(x)=ev(x)

Si on peut se ramener à une équation du type eu(x)=ev(x), on peut faire disparaître les exponentielles.

Résoudre dans l'équation suivante :

ex1=e2x

Etape 1

Faire disparaître les exponentielles

On utilise l'équivalence suivante :

eu(x)=ev(x)u(x)=v(x)

On a, pour tout réel x :

ex1=e2xx1=2x

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On résout ensuite l'équation obtenue.

Or, pour tout réel x :

x1=2xx=1

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation eu(x)=ev(x).

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

S={1}

Méthode 2

Si l'équation est du type eu(x)=k

Afin de résoudre une équation du type eu(x)=k, si k>0 on applique la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité pour faire disparaître l'exponentielle.

Résoudre dans l'équation suivante :

e4x1=3

Etape 1

Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle

On sait que la fonction exponentielle est toujours positive. Donc l'équation eu(x)=k n'admet pas de solution si k<0.

Si k>0, on sait que :

eu(x)=ku(x)=ln(k)

3>0, donc pour tout réel x :

e4x1=34x1=ln3

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On résout l'équation obtenue.

Or, pour tout réel x :

4x1=ln34x=ln3+1

Soit :

x=ln3+14

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation eu(x)=k.

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

S={ln3+14}

Méthode 3

Si l'équation est du type ae2u(x)+beu(x)+c=0

Afin de résoudre une équation du type ae2u(x)+beu(x)+c=0, on introduit le changement de variable X=eu(x) pour résoudre l'équation du second degré obtenue avant d'appliquer la fonction logarithme népérien pour revenir à la variable initiale.

Résoudre dans l'équation suivante :

e2x+2ex3=0

Etape 1

Poser X=eu(x)

On pose la nouvelle variable X=eu(x).

On pose :

X=ex

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On obtient une nouvelle équation de la forme aX2+bX+c=0.

Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant du trinôme :

  • Si Δ>0, le trinôme admet deux racines X1=bΔ2a et X2=b+Δ2a.
  • Si Δ=0, le trinôme admet une seule racine X0=b2a.
  • Si Δ<0, le trinôme n'admet pas de racine.

L'équation devient :

X2+2X3=0

On reconnaît une équation du second degré, dont on peut déterminer les solutions à l'aide du discriminant :

Δ=b24ac

Δ=224×1×(3)

Δ=16

Δ>0, donc l'équation X2+2X3=0 admet deux solutions :

  • X1=bΔ2a=2162×1=3
  • X2=b+Δ2a=2+162×1=1

Il arrive parfois que l'équation ne soit pas de la forme aX2+bX+C=0.

Quand c'est le cas, il faut se ramener à cette forme.

L'équation aX+b+cX=0 n'est pas une équation du second degré. Pour tout réel X non nul :

aX+b+cX=0X(aX+b+cX)=0aX2+bX+c=0

Etape 3

Donner les solutions de la première équation

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : x=ln(X).

Ainsi, pour chaque solution Xi positive, liée à la nouvelle variable, on détermine la solution correspondante liée à la variable initiale : xi=ln(Xi).

En revanche, la fonction exponentielle étant strictement positive sur , les solutions Xi0 ne correspondent à aucune solution de la variable initiale.

La solution X1 est négative, or l'exponentielle est toujours positive. On ne considère donc que la solution X2.

X2=1

ex2=1

x2=ln(1)=0

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S={0}

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