Calculer l'aire sous la courbe d'une fonction

On détermine la fonction f et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle de la surface comprise entre la courbe \(\displaystyle{C_{f}}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(\displaystyle{x=a}\) et \(\displaystyle{x=b}\).

On détermine le signe de f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\). On peut l'obtenir grâce à la position de \(\displaystyle{C_f}\) par rapport à l'axe des abscisses si la représentation graphique est donnée par l'énoncé.

Trois cas se présentent :

• Si f est positive sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), alors \(\displaystyle{A=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\).
• Si f est négative sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), alors \(\displaystyle{A=-\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\).
• Si f change de signe sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm², alors 1 u.a. vaut n cm².

Ainsi, si \(\displaystyle{A=k}\) u.a., on a alors \(\displaystyle{A=k\times n}\) cm².