Terminale L 2015-2016

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Calculer l'aire sous la courbe d'une fonction

On peut calculer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction f à l'aide d'un calcul d'intégrales.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=x^3}\)

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace la courbe représentative de la fonction f. Calculer l'aire de la zone hachurée.

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Etape 1

Exprimer l'aire que l'on veut calculer

On détermine la fonction f et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle de la surface comprise entre la courbe \(\displaystyle{C_{f}}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(\displaystyle{x=a}\) et \(\displaystyle{x=b}\).

On cherche à déterminer l'aire de la surface comprise entre \(\displaystyle{C_f}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(\displaystyle{x=-2}\) et \(\displaystyle{x=1}\).

Etape 2

Déterminer le signe de f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\)

On détermine le signe de f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\). On peut l'obtenir grâce à la position de \(\displaystyle{C_f}\) par rapport à l'axe des abscisses si la représentation graphique est donnée par l'énoncé.

La courbe est située :

  • En dessous de l'axe des abscisses sur \(\displaystyle{\left[ -2;0 \right]}\)
  • Au-dessus de l'axe des abscisses sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\)

Ainsi, f est négative sur \(\displaystyle{\left[ -2;0 \right]}\) et positive sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si f est positive sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), alors \(\displaystyle{A=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\).
  • Si f est négative sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), alors \(\displaystyle{A=-\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\).
  • Si f change de signe sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

f étant négative sur \(\displaystyle{\left[ -2;0 \right]}\) et positive sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\), on a :

\(\displaystyle{A=-\int_{-2}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

On remplace f par son expression :

\(\displaystyle{A=-\int_{-2}^{0} x^3 \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} x^3 \ \mathrm dx}\)

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de \(\displaystyle{x\longmapsto x^3}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) est \(\displaystyle{x\longmapsto \dfrac{x^4}{4}}\).

On a donc :

\(\displaystyle{A=-\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^1_{0}}\)

\(\displaystyle{A=-\left( \dfrac{0^4}{4}- \dfrac{\left( -2 \right)^4}{4}\right)+\left( \dfrac{1^4}{4} - \dfrac{0^4}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{A=\dfrac{16}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}}\)

A vaut donc \(\displaystyle{\dfrac{17}{4}}\) u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si \(\displaystyle{A=k}\) u.a., on a alors \(\displaystyle{A=k\times n}\) cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

\(\displaystyle{A=\dfrac{17}{4}\times4=17}\) cm2