Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Encadrer une intégrale

Méthode 1

En encadrant la fonction intégrée

Lorsque l'on ne peut pas calculer la valeur de baf(x) dx car on ne connaît pas de primitive de la fonction sous l'intégrale, l'énoncé peut demander d'encadrer cette intégrale. On peut obtenir cet encadrement à partir d'un encadrement de la fonction f.

Soit n un entier naturel. Démontrer l'inégalité suivante :

10xnex dx1n+1

Etape 1

Repérer les éléments à conserver dans l'expression de f

L'encadrement voulu est toujours donné par l'énoncé. On y repère donc les éléments qui doivent être conservés lors de l'encadrement de f.

On constate que l'entier n est présent dans le terme de droite. Il faut donc penser à le conserver quand on majorera xnex.

Etape 2

Encadrer la fonction f

On encadre la fonction f sur [a;b]. On démontre donc un encadrement de la forme suivante :

x[a;b],u(x)f(x)v(x)

On encadre d'abord ex sur [0;1].

Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :

1x0

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur :

e1exe0

En gardant uniquement la majoration, on a :

ex1

On multiplie par xn qui est positif. On obtient donc :

xnexxn

Etape 3

Utiliser les comparaisons d'intégrales

On s'assure que ab.

Grâce à l'encadrement trouvé dans l'étape précédente, on a alors, par comparaison d'intégrales :

bau(x) dxbaf(x) dxbav(x) dx

On calcule bau(x) dx et bav(x) dx pour obtenir l'encadrement voulu.

0 est bien inférieur à 1. Donc, d'après l'inégalité précédente, par comparaison d'intégrales, on a :

10xnex dx10xn dx

Or :

10xn dx=[xn+1n+1]10=1n+1n+10n+1n+1=1n+1

On peut donc conclure :

10xnex dx1n+1

Méthode 2

En utilisant l'inégalité de la moyenne

On peut parfois obtenir directement un encadrement d'intégrale grâce à l'inégalité de la moyenne.

Démontrer l'inégalité suivante :

010xex dxe

Etape 1

Énoncer les propriétés de l'inégalité de la moyenne

Si f est une fonction continue sur [a;b] (ab), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :

m(ba)baf(x) dxM(ba)

Si f est une fonction continue sur [a;b] (ab), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :

m(ba)baf(x) dxM(ba)

Etape 2

Déterminer un majorant et un minorant de f

On détermine tout d'abord un minorant et un majorant de la fonction f sur [a;b], ce qui revient à démontrer une inégalité de la forme mf(x)M, où m et M ne dépendent pas de x.

Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :

  • 0x1
  • e0exe1 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur

Les deux quantités étant positives, par produit, on a :

0×e0xex1×e

Soit :

0xexe

Etape 3

Écrire l'inégalité obtenue

On remplace m et M par les valeurs trouvées dans l'étape 1 pour obtenir l'encadrement souhaité.

En appliquant l'inégalité de la moyenne à la fonction f:xxex entre 0 et 1, d'après le résultat de l'étape 2, on a :

0×(10)10xex dxe×(10)

On peut donc conclure :

010xex dxe

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.