Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire

Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite (un), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire (vn) définie en fonction de la suite (un).

Soit (un) la suite définie par :

u0=1n, un+1=3un8

On considère la suite (vn) définie par :

n, vn=un4

En utilisant la suite auxiliaire (vn), déterminer l'expression du terme général de la suite (un) en fonction de n.

Etape 1

Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique

On exprime vn+1 en fonction de vn pour déterminer si la suite auxiliaire (vn) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.

Soit n un entier naturel :

vn+1=un+14

On remplace un+1 par son expression en fonction de un :

vn+1=3un84

On remplace un par son expression en fonction de vn :

vn+1=3(vn+4)84

vn+1=3vn+1284

Ainsi, pour tout entier naturel n :

vn+1=3vn

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :

v0=u04=14=3

Etape 2

Donner le terme général de la suite auxiliaire

On donne l'expression de vn en fonction de n. Deux cas se présentent :

  • Si la suite auxiliaire (vn) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, vn=v0+nr.
  • Si la suite auxiliaire (vn) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, vn=qnv0.

La suite (vn) est géométrique de raison 3 et de premier terme v0=3. Donc, pour tout entier naturel n :

vn=3×3n=3n+1

Etape 3

En déduire le terme général de la suite

On remplace vn par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite (un).

Pour tout entier naturel n, on a :

un=vn+4

On a donc, pour tout entier naturel n :

un=43n+1

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