Connaître les caractéristiques du discriminant d'un polynôme du second degré Exercice

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Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Parmi les affirmations suivantes concernant le discriminant d'un trinôme, lesquelles sont vraies ?

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de connaître le nombre de racines de ce trinôme.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de résoudre une équation du second degré.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de trouver la forme dérivée de ce trinôme.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet d'établir l'existence d'une forme factorisée de ce trinôme.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de connaître le nombre de racines de ce trinôme : si le discriminant \Delta d'un trinôme est négatif, le trinôme n'admet aucune racine réelle, s'il est égal à zéro, le trinôme admet une unique racine réelle dite « double », et s'il est positif, le trinôme admet deux racines réelles. L'affirmation est vraie.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de résoudre une équation du second degré : une équation du second degré est une équation de la forme ax^2 + bx + c = 0, a\not = 0. Le nombre de solutions de l'équation dépend du signe du discriminant \Delta du trinôme. L'affirmation est vraie.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de trouver la forme dérivée de ce trinôme. L'affirmation est fausse.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet d'établir l'existence d'une forme factorisée de ce trinôme : si le discriminant \Delta d'un trinôme est négatif, le trinôme n'admet pas de forme factorisée, s'il est positif ou nul, le trinôme peut être factorisé. L'affirmation est vraie.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2 + bx + c, a \not = 0.

Quelle est l'expression du discriminant \Delta de f(x) ?

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = b - 4ac

\Delta = b^2 + 4ac

\Delta = b + 4ac

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2 + bx + c, a \not = 0.

On appelle discriminant de f(x) le nombre réel :
\Delta = b^2 - 4ac

Soit une équation du second degré de la forme ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0.

Quelles sont les solutions de l'équation en fonction du signe du discriminant \Delta du trinôme ?

Si \Delta \lt 0, l'équation n'admet aucune solution réelle.
Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
Si \Delta \gt 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Si \Delta \gt 0, l'équation n'admet aucune solution réelle.
Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
Si \Delta \lt 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Si \Delta \lt 0, l'équation n'admet aucune solution réelle.
Si \Delta \gt 0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
Si \Delta = 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Si \Delta \lt 0, l'équation n'admet aucune solution réelle.
Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
Si \Delta \gt 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : x_1=\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{a} et x_2=\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{a}.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2 + bx + c, a \not = 0.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

Si \Delta \lt 0, f(x) n'admet pas de forme factorisée.
Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2, avec x_0 la racine double de f.
Si \Delta \gt 0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.

Si \Delta \gt 0, f(x) n'admet pas de forme factorisée.
Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2, avec x_0 la racine double de f.
Si \Delta \lt 0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.

Si \Delta \lt 0, f(x) n'admet pas de forme factorisée.
Si \Delta \gt 0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2, avec x_0 la racine double de f.
Si \Delta = 0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.

Si \Delta \lt 0, f(x) n'admet pas de forme factorisée.
Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x+x_0), avec x_0 la racine double de f.
Si \Delta \gt 0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x+x_1)(x+x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.

Vrai ou faux ? Résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, puis à sélectionner les intervalles qui correspondent au signe recherché.

Vrai

Faux

Vrai.

On appelle inéquation du second degré toute inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type ax^2 + bx + c \geqslant 0 (a\not = 0).

(Le symbole \geq peut être remplacé par \leq, \gt ou \lt.)

Pour résoudre une telle inéquation, il suffit d'étudier le signe de la fonction polynôme f d'expression développée ax^2 + bx + c. Pour cela, on calcule son discriminant, et on déduit le signe de la fonction du signe du discriminant. Puis on sélectionne les intervalles qui correspondent au signe recherché dans l'inéquation.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a\neq 0.
On note \Delta le discriminant de f(x).

Quel est le signe de f sur \mathbb{R} en fonction du signe du discriminant \Delta ?

Si \Delta \lt 0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}.
Si \Delta=0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
Si \Delta \gt 0, f(x) est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle, et nul en x_1 et x_2.

Si \Delta \lt 0, f(x) est du signe de -a sur \mathbb{R}.
Si \Delta=0, f(x) est du signe de -a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
Si \Delta \gt 0, f(x) est du signe de -a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de a à l'intérieur de cet intervalle, et nul en x_1 et x_2.

Si \Delta \gt 0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}.
Si \Delta=0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
Si \Delta \lt 0, f(x) est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle, et nul en x_1 et x_2.

Si \Delta \gt 0, f(x) est du signe de -a sur \mathbb{R}.
Si \Delta=0, f(x) est du signe de -a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
Si \Delta \lt 0, f(x) est du signe de -a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de a à l'intérieur de cet intervalle, et nul en x_1 et x_2.

Parmi les affirmations suivantes concernant le discriminant d'un trinôme, lesquelles sont vraies ?

Le calcul du discriminant permet d'étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré.

Le calcul du discriminant permet de résoudre une inéquation du premier degré.

Le calcul du discriminant permet de résoudre une inéquation du second degré.

Le calcul du discriminant permet d'étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré.

Le calcul du discriminant permet d'étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré : l'étude du signe du discriminant permet de déduire le signe de la fonction trinôme correspondante. L'affirmation est vraie.

Le calcul du discriminant permet de résoudre une inéquation du premier degré : le discriminant est un réel propre aux polynômes du second degré. Or, une inéquation du premier degré ne fait pas intervenir de polynômes du second degré. L'affirmation est fausse.

Le calcul du discriminant d'un trinôme permet de résoudre une inéquation du second degré : résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, ce qui nécessite l'étude du signe du discriminant. L'affirmation est vraie.

Le calcul du discriminant permet d'étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré : le discriminant d'un trinôme permet d'étudier son signe, mais ne donne pas d'information sur ses variations. Étudier les variations passe par l'étude de la dérivée. L'affirmation est fausse.