À l'aide des identités remarquables, déterminer la forme factorisée de chacune des fonctions polynômes suivantes.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-4
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-4
On remarque que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-2^2
On pose :
- a=x
- b=2
À l'aide de la première identité remarquable, on obtient donc que la forme factorisée de la fonction f est \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x+2)(x-2).
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2+4x+4
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2+4x+4
On remarque que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2+2\times 2x +2^2
On pose :
- a=x
- b=2
À l'aide de la deuxième identité remarquable, on obtient donc que la forme factorisée de la fonction f est \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x+2)^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-6x+9
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-6x+9
On remarque que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-2\times 3x +3^2
On pose :
- a=x
- b=3
À l'aide de la troisième identité remarquable, on obtient donc que la forme factorisée de la fonction f est\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-3)^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-10x+25
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-10x+25
On remarque que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-2\times 5x +5^2
On pose :
- a=x
- b=5
À l'aide de la troisième identité remarquable, on obtient donc que la forme factorisée de la fonction f est \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-5)^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=16x^2-49
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=16x^2-49
On remarque que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(4x)^2-7^2
On pose :
- a=4x
- b=7
À l'aide de la première identité remarquable, on obtient :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(4x+7)(4x-7)
En factorisant les deux termes par 4, on obtient donc \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=16(x+\dfrac{7}{4})(x-\dfrac{7}{4}).