Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = 9x^4
On cherche à résoudre l'équation :
f(x) = 16
On veut écrire l'équation f(x) = 16 sous la forme :
a^2-b^2 = 0
Quels sont les éléments a et b ?
On a :
f(x) = 16 \Leftrightarrow 9x^4 = 16
On remarque que 9x^4 = (3x^2)^2 et 16 = 4^2.
On a donc :
f(x) = 16 \Leftrightarrow (3x^2)^2 = 4^2
f(x) = 16 \Leftrightarrow (3x^2)^2 - 4^2 = 0
On peut donc écrire l'équation f(x) = 16 sous la forme a^2-b^2=0 avec :
a = 3x^2 et b = 4
Grâce à une identité remarquable, comment peut-on réécrire l'équation f(x) = 16 ?
D'après la question précédente on a :
f(x)=16 \Leftrightarrow (3x^2)^2 -4^2=0
On reconnaît l'identité remarquable :
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
avec a = 3x^2 et b = 4
Ainsi :
f(x)=16 \Leftrightarrow (3x^2-4)(3x^2+4)=0
On peut donc réécrire l'équation f(x) = 16 comme :
(3x^2-4)(3x^2+4)=0
Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation f(x) = 16 ?
On a montré que :
f(x)=16 \Leftrightarrow (3x^2-4)(3x^2+4)=0
Donc :
f(x)=16 \Leftrightarrow \begin{cases} 3x^2-4=0 \cr \cr \text{ou} \cr\cr 3x^2+4=0 \end{cases}
On remarque que :
3x^2 +4 = 0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{-4}{3}
Cette équation n'admet pas de solution car x^2 est nécessairement positif.
Donc :
f(x)=16 \Leftrightarrow 3x^2-4=0
f(x)=16 \Leftrightarrow 3x^2=4
f(x)=16 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{4}{3}
f(x)=16 \Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cr\cr \text{ou} \cr\cr x=\dfrac{-2}{\sqrt{3}}\end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation f(x) = 16 est donc :
S =\left \{ \dfrac{-2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right \}