Quel changement de variable permet de transformer le polynôme f en un polynôme du second degré ?
Soit f la fonction polynôme telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=12x^4-4x^2+7
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=12x^4-4x^2+7
On remarque :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3\times 4x^4-4x^2+7
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3\left(2x^2\right)^2-\left(2x\right)^2+7
On pose :
X=2x^2
On peut alors écrire :
\forall X \in \mathbb{R}, f(X)=3X^2-X+7
Le changement de variable qui permet de transformer cette équation est donc X=2x^2.
Soit f la fonction polynôme telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3x^6-x^3+12
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^6-x^3+12
On remarque :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x^3)^2-x^3+12
On pose :
X=x^3
Ainsi :
X^2=(x^3)^2
X^2=x^{3\times 2}
X^2=x^{6}
On peut alors écrire :
\forall X \in \mathbb{R}, f(X)=X^2-X+12
Le changement de variable qui permet de transformer cette équation est donc X=x^3.
Soit f la fonction polynôme telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=4x^8+12x^4-15
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=4x^8+12x^4-15
On remarque :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=4(x^4)^2+12x^4-15
On pose :
X=x^4
Ainsi :
X^2=(x^4)^2
X^2=x^{4\times 2}
X^2=x^{8}
On peut alors écrire :
\forall X \in \mathbb{R}, f(X)=4X^2+12X-15
Le changement de variable qui permet de transformer cette équation est donc X=x^4.
Soit f la fonction polynôme telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x^4+12x^2+3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x^4+12x^2+3
On remarque :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2(x^2)^2+12x^2+3
On pose :
X=x^2
Ainsi :
X^2=(x^2)^2
X^2=x^{2\times 2}
X^2=x^{4}
On peut alors écrire :
\forall X \in \mathbb{R}, f(X)=2X^2+12X+3
Le changement de variable qui permet de transformer cette équation est donc X=x^2.
Soit f la fonction polynôme telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^{10}-5x^5+5
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^{10}-5x^5+5
On remarque :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x^5)^2-5x^5+5
On pose :
X=x^5
Ainsi :
X^2=(x^5)^2
X^2=x^{5\times 2}
X^2=x^{10}
On peut alors écrire :
\forall X \in \mathbb{R}, f(X)=X^5-5X+5
Le changement de variable qui permet de transformer cette équation est donc X=x^5.