Déterminer la forme développée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles Exercice

Si f est un polynôme du second degré qui admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Ici, f est un polynôme du second degré qui admet pour racines réelles x_1 = 1 et x_2= 2. On peut donc écrire :
\forall a \in \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = a (x-1)(x-2)

Or, d'après l'énoncé : 
f(3) = 2

D'où : 
a(3-1)(3-2) =2

On résout pour obtenir la valeur de a :
a\times 2 \times 1= 2
a=1

Ainsi : 
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (x-1)(x-2)

Si f est un polynôme du second degré qui admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Ici, f est un polynôme du second degré qui admet pour racines réelles x_1 = 3 et x_2= -2. On peut donc écrire :
\forall a \in \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = a (x-3)(x+2)

Or, d'après l'énoncé : 
f(1)=1

D'où : 
a(1-3)(1+2) = 1

On résout pour obtenir la valeur de a :
a\times (-2) \times 3 = 1
-6a=1
a= \dfrac{-1}{6}

Ainsi : 
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{-1}{6}(x-3)(x+2)

Si f est un polynôme du second degré qui admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Ici, f est un polynôme du second degré qui admet pour racines réelles x_1 = 0 et x_2= 2. On peut donc écrire :
\forall a \in \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = a x(x-2)

Or, d'après l'énoncé : 
f(1)=1

D'où : 
a\times 1\times (1-2) = 1

On résout pour obtenir la valeur de a :
a\times (-1) = 1
-a=1
a= -1

Ainsi : 
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = -x(x-2)

Si f est un polynôme du second degré qui admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Ici, f est un polynôme du second degré qui admet pour racines réelles x_1 = -5 et x_2= -3. On peut donc écrire :
\forall a \in \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = a (x+5)(x+3)

Or, d'après l'énoncé : 
f(5)=800

D'où : 
a\times(5+5) \times (5+3) = 800

On résout pour obtenir la valeur de a :
a\times 10 \times 8 = 800
80a=800
a= 10

Ainsi : 
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 10(x+5)(x+3)

Si f est un polynôme du second degré qui admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Ici, f est un polynôme du second degré qui admet pour racines réelles x_1 = -6 et x_2= 6. On peut donc écrire :
\forall a \in \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = a (x+6)(x-6)  

Or, d'après l'énoncé : 
f(2)=-2

D'où : 
a\times(2-6) \times (2+6) = -2

On résout pour obtenir la valeur de a :
a\times (-4) \times 8 = -2
-32a=-2
a= \dfrac{-2}{-32}
a= \dfrac{1}{16}

Ainsi : 
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1}{16}(x-6)(x+6)