Une personne est situé à 200 mètres d'une montagne, dont la forme est parabolique. En prenant pour unité des abscisses 100 mètres et pour unité des ordonnées 200 mètres, on a représenté la situation dans le graphique ci-dessous, où la parabole a pour équation :
y=-x^2+12x-27
L'objectif est de déterminer le point le plus haut de la montagne que la personne peut apercevoir.
On considère la droite passant par A d'équation y=x-1. Déterminer le nombre de point d'intersection de cette droite avec la parabole.
On doit considérer l'équation
-x^2+12x-27=x-1
et donc -x^2+11x-26=0.
Comme le discriminant est \Delta=11^2-4\times 26=17>0, on en déduit que l'équation possède deux racines distinctes.
Au final, la droite d'équation y=x-1 intersecte la parabole en deux points distincts.
Etant donnée une droite passant par A et de coefficient directeur m, déterminer l'équation associée à l'intersection éventuelle de cette droite avec la parabole.
On rappelle que l'équation de la droite passant par A(1;0) et de coefficient directeur m est y=mx-m. On doit donc résoudre l'équation :
-x^2+12x-27=mx-m
Au final on obtient l'équation :
-x^2+(12-m)x-27+m=0
Déterminer pour quelle équation doit vérifier m pour que la droite passant par A et de coefficient directeur m possède un seul point d'intersection avec la parabole.
L'équation -x^2+(12-m)x-27+m=0 doit avoir une racine double, et donc son discriminant doit être nul. Or on a :
\Delta=(12-m)^2-4\times (-1)\times (-27+m)
Au final le nombre m doit vérifier l'équation :
(12-m)^2+4(m-27)=0
Répondre au problème posé, à savoir : déterminer à quelle hauteur se trouve le point sur la montagne à partir duquel l'observateur situé en A ne plus voir.
On commence par trouver la valeur de m qui convient. L'équation (12-m)^2+4(m-27)=0 se réécrit de la façon suivante :
m^2-20m+36=0
Comme le discriminant vaut 256=16^2 on en déduit deux solutions :
m_1=2 et m_2=18
La solution 18 est clairement exclue (la droite est presque verticale). Pour m_1=2 la droite est donc d'équation :
y=2x-2
On doit alors résoudre l'équation -x^2+12x-27=2x-2, ce qui donne :
-x^2+10x-25=0 qui devient (x-5)^2=0
On trouve x=5, et l'ordonnée correspondante sur la parabole est de -5^2+12\times 5-27=8.
Au final, la hauteur est de 1600 mètres.