On veut résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R} :
x^4-6x^2+5 \lt 0
On va effectuer un changement de variable.
On pose X=x^2.
Que devient l'inéquation x^4-6x^2+5 \lt 0 après le changement de variable X=x^2 ?
On a l'équation suivante :
x^4-6x^2+5 \lt 0
Que l'on peut réécrire :
(x^2)^2-6x^2+5 \lt 0
Or, X=x^2.
Donc l'équation devient :
X^2-6X+5 \lt 0
Grâce au changement de variable X=x^2, l'inéquation devient donc :
X^2-6X+5 \lt 0
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation X^2-6X+5 \lt 0 ?
X^2-6X+5 \lt 0 est une équation du second degré avec a=1, b=-6 et c=5.
On sait que le polynôme sera du signe de a, donc positif, sauf entre ses racines.
Il faut donc trouver les racines du polynôme.
Pour cela, on résout l'équation suivante : X^2-6X+5= 0.
Pour la résoudre, on peut calculer le discriminant :
\Delta = b^2-4ac = (-6)^6-4\times1 \times 5 = 36-20 = 16 = 4^2
Ainsi, les racines sont :
X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{6-4}{2\times1} = 1
X_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{6+4}{2\times1} = 5
Donc le polynôme X^2-6X+5 est positif sur ]-\infty;1] \cup [5;+\infty[ et négatif sur ]1;5[.
L'ensemble S_1 des solutions de l'équation X^2-6X+5 \lt 0 est donc :
S_1= ]1;5[
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'équation x^4-6x^2+5 = 0 ?
Grâce à la question précédente, on connaît les solutions de l'équation X^2-6X+5= 0, X_1=1 et X_2=5.
Cette équation est obtenue à partir de celle qu'on veut résoudre grâce au changement de variable X=x^2.
Ainsi les solutions de l'équation x^4-6x^2+5 = 0 vérifient :
x^2=1 ou x^2=5
Il y a donc quatre solutions qui sont :
x_1 = -1
x_2 = 1
x_3 = -\sqrt{5}
x_4 = \sqrt{5}
L'ensemble S_2 des solutions de l'équation x^4-6x^2+5 = 0 est donc :
S_2 = \{-\sqrt{5};-1;1;\sqrt{5}\}
Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation x^4-6x^2+5 \lt 0 ?
On connaît les quatre racines du polynôme x^4-6x^2+5 .
Ces racines définissent 5 intervalles dans lesquels le polynôme ne change pas de signe.
Ces intervalles sont les suivants :
I_1 = ]-\infty;-\sqrt{5}[
I_2 = ]-\sqrt{5};-1[
I_3 = ]-1;1[
I_4 = ]1;\sqrt{5}[
I_5 = ]\sqrt{5};+\infty[
Il suffit de tester 5 valeurs particulières de ce polynôme pour connaître son signe sur \mathbb{R}.
sqrt{5} \approx 2{,}2
- -3 \in I_1 et (-3)^4-6\times(-3)^2+5 = 81-54+5 = 32
Donc le polynôme est positif sur I_1.
- -2 \in I_2 et (-2)^4-6\times(-2)^2+5 = 16-24+5 = -3
Donc le polynôme est négatif sur I_2.
- 0 \in I_3 et (0^4-6\times0^2+5 = 5
Donc le polynôme est positif sur I_3.
- 2 \in I_4 et 2^4-6\times2^2+5 = 16-24+5 = -3
Donc le polynôme est négatif sur I_4.
- 3 \in I_5 et 3^4-6\times3^2+5 = 81-54+5 = 32
Donc le polynôme est positif sur I_5.
Finalement le polynôme est négatif sur I_2 \cup I_4.
L'ensemble S des solutions de l'équation x^4-6x^2+5 \lt 0 est donc :
S= ]-\sqrt{5};-1[ \cup ]1;\sqrt{5}[