Résoudre une inéquation du second degré sans terme nul Exercice

2x^2+3x-1\geqslant 3x^2-3x+8\Leftrightarrow -x^2+6x-9\geqslant0

On dresse donc le tableau de signes du trinôme du second degré pour résoudre l'inéquation.

On considère le trinôme défini par :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right)=-x^2+6x-9
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times\left(-1\right)\times\left(-9\right)=36-36=0

\Delta=0, on en déduit que le trinôme est du signe de a, c'est-à-dire négatif (a = -1), pour tout x réel et s'annule en sa racine unique x_0.

x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-6}{-2}=3

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :

Pour résoudre l'inéquation, on cherche dans le tableau de signes les valeurs de x telles que -x^2+6x-9\geqslant0.

2x\left(x-3\right)\leqslant \left(3x+1\right)^2
\Leftrightarrow 2x\left(x-3\right)-\left(3x+1\right)^2\leqslant0
\Leftrightarrow2x^2-6x-\left(9x^2+6x+1\right)\leqslant0
\Leftrightarrow2x^2-6x-9x^2-6x-1\leqslant0
\Leftrightarrow -7x^2-12x-1\leqslant0

On dresse donc le tableau de signes du trinôme du second degré pour résoudre l'inéquation.

On considère le trinôme défini par :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right)=-7x^2-12x-1
\Delta=b^2-4ac=\left(-12\right)^2-4\times\left(-7\right)\times\left(-1\right)=144-28=116

\Delta\gt0, on en déduit que le trinôme est du signe de a, c'est-à-dire négatif (a = -7), à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines x_1 et x_2, et du signe contraire, c'est-à-dire positif, entre les racines.

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12-\sqrt{116}}{2\times\left(-7\right)}=\dfrac{12-2\sqrt{29}}{-14}=\dfrac{6-\sqrt{29}}{-7}=\dfrac{-6+\sqrt{29}}{7}
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12+\sqrt{116}}{2\times\left(-7\right)}=\dfrac{12+2\sqrt{29}}{-14}=\dfrac{6+\sqrt{29}}{-7}=\dfrac{-6-\sqrt{29}}{7}

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :

Pour résoudre l'inéquation, on cherche dans le tableau de signes les valeurs de x telles que -7x^2-12x-1\leqslant0.

-3x^2+8x-2\leqslant -2x^2+6x-5\Leftrightarrow -x^2+2x+3\leqslant0

On dresse donc le tableau de signes du trinôme du second degré pour résoudre l'inéquation.

On considère le trinôme défini par :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right)=-x^2+2x+3
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times\left(-1\right)\times3=4+12=16

\Delta\gt0, on en déduit que le trinôme est du signe de a, c'est-à-dire négatif (a = -1), à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines x_1 et x_2, et du signe contraire, c'est-à-dire positif, entre les racines.

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-2-4}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-2+4}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :

Pour résoudre l'inéquation, on cherche dans le tableau de signes les valeurs de x telles que -x^2+2x+3\leqslant0.

4x^2-x+2\gt x^2+5x\Leftrightarrow 3x^2-6x+2\gt0

On dresse donc le tableau de signes du trinôme du second degré pour résoudre l'inéquation.

On considère le trinôme défini par :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right)=3x^2-6x+2
\Delta=b^2-4ac=\left(-6\right)^2-4\times3\times2=36-24=12

\Delta\gt0, on en déduit que le trinôme est du signe de a, c'est-à-dire positif (a = 3), à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines x_1 et x_2, et du signe contraire, c'est-à-dire négatif, entre les racines.

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{12}}{2\times3}=\dfrac{6-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+\sqrt{12}}{2\times3}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :

Pour résoudre l'inéquation, on cherche dans le tableau de signes les valeurs de x telles que 3x^2-6x+2\gt0.

3x^2-x+2\lt -x^2+2x+4\Leftrightarrow 4x^2-3x-2\lt0

On dresse donc le tableau de signes du trinôme du second degré pour résoudre l'inéquation.

On considère le trinôme défini par :
\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right)=4x^2-3x-2
\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times4\times\left(-2\right)=9+32=41

\Delta\gt0, on en déduit que le trinôme est du signe de a, c'est-à-dire positif (a = 4), à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines x_1 et x_2, et du signe contraire, c'est-à-dire négatif, entre les racines.

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{41}}{2\times4}=\dfrac{3-\sqrt{41}}{8}
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{41}}{2\times4}=\dfrac{3+\sqrt{41}}{8}

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :

Pour résoudre l'inéquation, on cherche dans le tableau de signes les valeurs de x telles que 4x^2-3x-2\lt0.