Max possède un hôtel de 300 chambres.
Max souhaite réaliser un meilleur chiffre d'affaires que l'année précédente sur le mois de juillet. Il avait effectué un chiffre d'affaires de 558 000 €. Il souhaite cette année l'augmenter d'au moins 30 000 €.
L'année dernière, il a loué ses chambres à 100 € par nuit. À ce prix, il a eu un taux de remplissage de 60 %, c'est-à-dire que tous les jours, 60 % de ses chambres étaient occupées.
Afin d'optimiser son chiffre d'affaires, Max sait que :
- s'il augmente le prix de la nuit de 10 €, il va perdre 10 % de remplissage ;
- s'il baisse le prix de la nuit de 10 €, il va gagner 10 % de remplissage.
On note x le nombre d'augmentation algébrique de 10 € du prix de la nuit. C'est-à-dire que si x est négatif, on baisse le prix, et si x est positif, on augmente le prix.
On cherche les valeurs de x permettant de remplir l'objectif de Max.
Soit p la fonction modélisant le prix de la nuit dans une chambre en fonction de x tel que défini dans l'énoncé.
Comment est définie la fonction p ?
x est le nombre d'augmentation algébrique de 10 € du prix de la nuit.
Le prix initial est celui de l'année dernière, c'est-à-dire 100 €.
Si x = 1, le prix de la chambre est de 100+10 = 110.
Si x = 2, le prix de la chambre est de 100+2\times10 = 120.
On a donc :
p(x) = 100 +10x
On vérifie que cette formule fonctionne pour x négatif.
Si x=-1, on diminue le prix de 10 € donc p(-1) = 90 .
Si x=-2, on diminue le prix de 20 € donc p(-1) = 80 .
p(x) = 100 +10x fonctionne également pour x négatif.
La fonction p modélisant le prix de la nuit dans une chambre est donc définie par p(x) = 100 +10x.
Soit t la fonction modélisant le taux de remplissage en fonction de x tel que défini dans l'énoncé.
Comment est définie la fonction t ?
D'après l'énoncé :
- Si le prix de la nuit augmente de 10 €, le taux de remplissage diminue de 10 %.
- Si le prix de la nuit diminue de 10 €, le taux de remplissage augmente de 10 %.
Le taux de remplissage initial est de 60 %.
On voit que si x augmente, le taux remplissage diminue.
Donc le taux de remplissage est inversement proportionnel à x.
On peut écrire :
t(x) = 0{,}6 - 0{,}1x
Ou bien :
t(x) = \dfrac{60-10x}{100}
La fonction t modélisant le taux de remplissage est définie par t(x) = \dfrac{60-10x}{100} .
Quelle est la fonction c définissant le chiffre d'affaires du mois de juillet en fonction de x ?
Le chiffre d'affaires du mois de juillet correspond à l'argent accumulé au mois de juillet grâce à la location des chambres.
On a modélisé le prix p d'une nuit et le taux d'occupation t des chambres.
Si on multiplie t par le nombre de chambres, on obtient le nombre de chambres occupées.
Si on multiplie p et t et le nombre de chambres, on obtient le chiffre d'affaires de l'hôtel sur une nuit.
Or, il y a 31 jours dans le mois de juillet.
Ainsi :
c(x) = 31 \times 300 \times p(x) \times t(x)
c(x) = 31 \times 300 \times (100 + 10 x) \times \dfrac{60-10x}{100}
c(x) = 31 \times 3 \times (100 + 10 x) \times (60-10x)
c(x) = 93 \times (\text{6 000}+600x-\text{1 000}x-100x^2)
c(x) = 93 \times (\text{6 000}-400x-100x^2)
c(x) = \text{558 000} - \text{37 200}x-\text{9 300}x^2
La fonction c définissant le chiffre d'affaires du mois de juillet en fonction de x est donc c(x) = \text{558 000} - \text{37 200}x-\text{9 300}x^2 .
Quelle est l'inéquation permettant de modéliser l'objectif de Max ?
Max souhaite que son chiffre d'affaires augmente d'au moins 30 000 €, donc qu'il atteigne au moins 588 000 €.
L'équation à résoudre est la suivante :
c(x) \geqslant \text{588 000}
Or, on connaît c.
\text{558 000} - \text{37 200}x-\text{9 300}x^2 \geqslant \text{588 000}
On peut simplifier l'équation :
-\text{37 200}x-\text{9 300}x^2 \geqslant \text{30 000}
\text{9 300}x^2+\text{37 200}x +\text{30 000} \leqslant 0
On peut diviser l'équation par 100 :
93x^2+372x +300 \leqslant 0
L'inéquation permettant de modéliser l'objectif de Max est donc 93x^2+372x +300 \leqslant 0 .
Quelle est la seule valeur entière de x permettant de remplir l'objectif de Max ?
On veut résoudre l'équation :
93x^2+372x +300 \leqslant 0
On étudie le polynôme p(x) = 93x^2+372x +300 afin de déterminer pour quelles valeurs de x il sera négatif.
On sait qu'un polynôme du second degré est du signe du coefficient de x^2, dans le cas présent il est positif sauf entre les racines.
p est donc négatif entre ses racines.
Les solutions de l'équation sont donc dans l'intervalle entre les racines de p.
Afin de déterminer les racines de p, on calcule son discriminant :
\Delta = 372^2-4\times93\times 300 = \text{138 384} - \text{111 600} = \text{26 784}
p admet deux racines car \Delta est positif.
x_1 = \dfrac{-372 - \sqrt{\text{26 784}}}{2 \times 93 }
x_1 \approx -2{,}9
x_2 = \dfrac{-372 +\sqrt{\text{26 784}}}{2 \times 93 }
x_2 \approx -1{,}1
Les valeurs solutions de l'équation sont comprises entre -2,9 et -1,1.
La seule valeur entière solution du problème est donc -2.
Afin d'augmenter son chiffre d'affaires du mois de juillet d'au moins 30 000 €, Max doit effectuer deux diminutions de son prix de la nuit de 10 €. Il doit donc diminuer le prix de la nuit de 20 € afin d'augmenter son taux de remplissage de 20 %.