Déterminer la forme factorisée des fonctions polynômes suivantes en utilisant les identités remarquables.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^6-25x^2
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^6-25x^2
Il y a deux manières pour trouver la forme factorisée de f. Une première manière consiste à d'abord factoriser par x^2, pour obtenir :
\forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)=x^2\left(x^4-25\right)
f(x)=x^2\left((x^2)^2-5^2\right)
On pose :
- a=x^2
- b=5
On obtient à l'aide de la première identité remarquable :
f(x) = x^2 (x^2 - 5)(x^2 + 5)
Sinon, une méthode alternative consiste à d'abord utiliser l'identité remarquable, on obtient ainsi pour tout x\in \mathbb{R} :
f(x) = x^6 - 25x^2= (x^3)^2 - (5x)^2
f(x) = (x^3 - 5x)(x^3 + 5x)
On peut, dans chaque terme, factoriser par x :
f(x) =x (x^2 - 5)x(x^2 + 5)
En réarrangeant les termes on obtient finalement :
f(x) = x^2 (x^2 - 5)(x^2 + 5)
Dans les deux cas, on obtient donc \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) = x^2 (x^2 - 5)(x^2 + 5).
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=16x^5-9x
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=16x^5-9x
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=x\left(16x^4-9\right)
Ce qui nous permet d'utiliser la première identité remarquable, puisque 16x^4 = (4x^2)^2 et 9 = 3^2.
f(x)=x\left((4x^2)^2-3^2\right)
On pose :
- a=4x^2
- b=3
À l'aide de la première identité remarquable, on obtient donc \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x(4x^2+3)(4x^2-3).
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^4+10x^3+25x^2
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^4+10x^3+25x^2
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=x^2\left(x^2+10x+25\right)
f(x)=x^2\left(x^2+2\times 5x+5^2\right)
On pose :
- a=x
- b=5
À l'aide de la deuxième identité remarquable, on obtient donc \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2(x+5)^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^4-12x^3+36x^2
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^4-12x^3+36x^2
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=x^2\left(x^2-12x+36\right)
f(x)=x^2\left(x^2-2\times 6x+6^2\right)
On pose :
- a=x
- b=6
À l'aide de la troisième identité remarquable, on obtient donc \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2(x-6)^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x^3-12x^2+18x
Soient a et b deux nombres réels. Les trois identités remarquables sont :
- (a+b)(a-b)=a^2-b^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x^3-12x^2+18x
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=2x\left(x^2-6x+9\right)
f(x)=2x\left(x^2-2\times 3x+3^2\right)
On pose :
- a=x
- b=3
À l'aide de la troisième identité remarquable, on obtient donc \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x(x-3)^2.