Factoriser une fonction polynôme du troisième degré à l'aide de l'une de ses racines réelles Exercice

Si f est une fonction polynôme du troisième degré qui admet une racine réelle x_3, alors f peut s'écrire sous la forme factorisée :
f(x)=(x-x_3)(ax^2+bx+c) où a, b et c sont trois nombres réels avec a\neq 0.

Ici, on a :

• \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^3-2x^2-5x+6 ;
• f(1)=0, donc 1 est racine de f et on peut poser x_3=1.

Ainsi, il existe trois réels a, b et c avec a\neq 0 tels que, \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)

Et, en développant :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c

On identifie les coefficients membre à membre avec le polynôme d'origine et on obtient :

• a=1
• -2=b-a, d'où b=-2+1=-1
• -5=c-b, d'où c=-5+(-1)=-6

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-1)(x^2-x-6)

Si f est une fonction polynôme du troisième degré qui admet une racine réelle x_3, alors f peut s'écrire sous la forme factorisée :
f(x)=(x-x_3)(ax^2+bx+c) où a, b et c sont trois nombres réels avec a\neq 0.

Ici, on a :

• \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3x^3+4x^2-5x-2 ;
• f(-2)=0, donc -2 est racine de f et on peut poser x_3=-2.

Ainsi, il existe trois réels a, b et c avec a\neq 0 tels que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)

Et, en développant :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c

On identifie les coefficients membre à membre avec le polynôme d'origine et on obtient :

• a=3
• 4=b+2a, d'où b=4-6=-2
• -5=c+2b, d'où c=-5+4=-1

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x+2)(3x^2-2x-1)

Si f est une fonction polynôme du troisième degré qui admet une racine réelle x_3, alors f peut s'écrire sous la forme factorisée :
f(x)=(x-x_3)(ax^2+bx+c) où a, b et c sont trois nombres réels avec a\neq 0.

Ici, on a :

• \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^3-22x^2+24x-9 ;
• f(3)=0, donc 3 est racine de f et on peut poser x_3=3.

Ainsi, il existe trois réels a, b et c avec a\neq 0 tels que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)

Et, en développant :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+bx^2+cx-3ax^2-3bx-3c
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3

On identifie les coefficients membre à membre avec le polynôme d'origine et on obtient :

• a=5
• -22=b-3a, d'où b=-22+15=-7
• 24=c-3b, d'où c=24-21=3

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-3)(5x^2-7x+3)

Si f est une fonction polynôme du troisième degré qui admet une racine réelle x_3, alors f peut s'écrire sous la forme factorisée :
f(x)=(x-x_3)(ax^2+bx+c) où a, b et c sont trois nombres réels avec a\neq 0.

Ici, on a :

• \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x^3-2x^2-2x-4 ;
• f(2)=0, donc 2 est racine de f et on peut poser x_3=2.

Ainsi, il existe trois réels a, b et c avec a\neq 0 tels que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)

Et, en développant :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c

On identifie les coefficients membre à membre avec le polynôme d'origine et on obtient :

• a=2
• -2=b-2a, d'où b=-2+4=2
• -2=c-2b, d'où c=-2+4=2

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-2)(2x^2+2x+2)

Si f est une fonction polynôme du troisième degré qui admet une racine réelle x_3, alors f peut s'écrire sous la forme factorisée :
f(x)=(x-x_3)(ax^2+bx+c) où a, b et c sont trois nombres réels avec a\neq 0.

Ici, on a :

• \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3x^3-19x^2+25x-25 ;
• f(5)=0, donc 5 est racine de f et on peut poser x_3=5.

Ainsi, il existe trois réels a, b et c avec a\neq 0 tels que \forall x \in \mathbb{R} :
f(x)=(x-5)(ax^2+bx+c)

Et, en développant :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+bx^2+cx-5ax^2-5bx-5c
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^3+(b-5a)x^2+(c-5b)x-5c

On identifie les coefficients membre à membre avec le polynôme d'origine et on obtient :

• a=3
• -19=b-5a, d'où b=-19+15=-4
• 25=c-5b, d'où c=25+20=5

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-5)(3x^2-4x+5)