Dans les cas suivants, résoudre l'équation (E).
(E):\left(-x+2\right)\left(3x-1\right)=x^2+3\left(2x-5\right)
Simplification de l'équation
On passe tous les termes du même côté pour se ramener à une équation du second degré :
\left(-x+2\right)\left(3x-1\right)=x^2+3\left(2x-5\right)
\Leftrightarrow -3x^2+x+6x-2=x^2+6x-15
\Leftrightarrow -4x^2+x+13=0
Les solutions de (E) sont donc les mêmes que les solutions de cette équation du second degré.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(1\right)^2-4\times(-4)\times 13=1+208=209
\Delta\gt0 donc le trinôme possède deux racines réelles x_1 et x_2.
Calcul des racines du trinôme
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{209}}{2\times(-4)}=\dfrac{1+\sqrt{209}}{8}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{209}}{2\times(-4)}=\dfrac{1-\sqrt{209}}{8}
S=\left\{\dfrac{1-\sqrt{209}}{8},\dfrac{1+\sqrt{209}}{8}\right\}
(E):-3x^2+5x-5=-3
Simplification de l'équation
On passe tous les termes du même côté pour se ramener à une équation du second degré :
-3x^2+5x-5=-3
\Leftrightarrow -3x^2+5x-2=0
Les solutions de (E) sont donc les mêmes que les solutions de cette équation du second degré.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-3\right)\times\left(-2\right)=25-24=1
\Delta\gt0 donc le trinôme possède deux racines réelles notées x_1 et x_2.
Calcul des racines du trinôme
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-5-1}{-6}=\dfrac{-6}{-6}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-5+1}{-6}=\dfrac{-4}{-6}=\dfrac{2}{3}
S=\left\{\dfrac{2}{3},1\right\}
(E):2x^2-6x-1=-x^2-x-8
Simplification de l'équation
2x^2-6x-1=-x^2-x-8
\Leftrightarrow3x^2-5x+7=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times3\times7=25-84=-59
\Delta\lt0 donc le trinôme ne possède pas de racine.
L'équation n'admet pas de solution.
(E):-3x^2+7x-1=x\left(x+2\right)
Simplification de l'équation
-3x^2+7x-1=x\left(x+2\right)
\Leftrightarrow-3x^2+7x-1-x\left(x+2\right)=0
\Leftrightarrow-3x^2+7x-1-x^2-2x=0
\Leftrightarrow-4x^2+5x-1=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-4\right)\times\left(-1\right)=25-16=9
\Delta\gt0 donc le trinôme possède deux racines distinctes, notées x_1 et x_2.
Calcul des racines du trinôme
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{9}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{-5-3}{-8}=\dfrac{-8}{-8}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{9}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{-5+3}{-8}=\dfrac{-2}{-8}=\dfrac{1}{4}
S=\left\{1,\dfrac{1}{4}\right\}
(E):x^2+2x-10=-3x^2+2x+15
Simplification de l'équation
x^2+2x-10=-3x^2+2x+15
\Leftrightarrow x^2+2x-10+3x^2-2x-15=0
\Leftrightarrow 4x^2-25=0
On reconnaît une identité remarquable.
Factorisation
4x^2-25=0\Leftrightarrow \left(2x-5\right)\left(2x+5\right)=0
Résolution de l'équation produit
L'équation est équivalente à :
\left(2x-5\right)=0\text{ ou }\left(2x+5\right)=0
\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\text{ ou }x=-\dfrac{5}{2}
S=\left\{\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right\}