Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = 4x^3+2x^2+x+3
On veut résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R} :
f(x) \lt 0
On cherche les racines du polynôme f.
Quelle est la racine évidente de ce polynôme ?
On a :
f(x) = 4x^3+2x^2+x+3
Tous les coefficients du polynôme sont positifs, donc on sait que pour tout x positif, le polynôme sera positif.
Toutes les racines sont donc négatives.
On teste avec x=-1 :
f(-1) = 4\times (-1)^3+2\times (-1)^3-1+3
f(-1) = -4+2-1+3
f(-1) = 0
La racine évidente du polynôme f est donc -1.
Grâce à la racine évidente du polynôme f, comment peut-on factoriser f ?
On a montré que -1 est racine du polynôme f.
On peut donc factoriser f par x+1.
C'est-à-dire qu'il existe (a,b,c) un triplet de nombres réels tel que :
f(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)
Afin de déterminer les coefficients a, b, c, on développe f :
f(x)=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c
f(x)=ax^3+(b+a)x^2+(c+b)x+c
Donc :
\begin{cases} a=4 \cr \cr b+a=2 \cr \cr c+b=1 \cr \cr c=3 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} a=4 \cr \cr b=-2 \cr \cr c=3\end{cases}
On peut donc factoriser f sous la forme suivante :
f(x) = (x+1)(4x^2-2x+3)
Quel est l'ensemble R des racines de f ?
On sait que -1 est racine de f. On a besoin de savoir si f admet d'autres racines.
Si f admet d'autres racines que -1, alors ce sont les racines de 4x^2-2x+3 .
On cherche à résoudre :
4x^2-2x+3 = 0
\Delta = 4-4\times4\times 3 = 4 -48 = -44
Le discriminant étant négatif, 4x^2-2x+3 = 0 n'admet pas de solution.
Donc f n'admet qu'une seule racine -1.
L'ensemble des racines de f est donc :
R = \{ -1\}
Quel est l'ensemble S des solutions de l'inéquation f(x) \lt 0 ?
On connaît la racine du polynôme f, c'est -1.
Pour tracer le tableau de signes de f, il suffit de calculer deux valeurs de f, l'une supérieure à -1, par exemple 0, l'autre inférieure à -1, par exemple -2.
f(0) =4\times 0 + 2\times0+0+3=3
Donc f(0) \gt 0.
f(-2 = 4\times (-8) + 2\times 4-2+3 = -32+8-2+3 = -23\)
Donc f(-2) \lt 0.
f n'a qu'une racine donc ne change de signe qu'une seule fois.
Ainsi :
L'ensemble S des solutions de l'inéquation f(x) \lt 0 est donc :
S = ] -\infty ; -1[