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Dernière modification : 19/10/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Une fonction polynôme du second degré est une fonction qui s'écrit sous la forme :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^2+bx+c
où a, b et c sont trois réels tels que a\neq0.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=-3x^2+\dfrac{2}{3}x+1
f est une fonction polynôme de degré 2.
On appelle forme développée d'une fonction polynôme du second degré sa forme du type f(x)=ax^2+bx+c.
On considère la fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5(x-1)^2-4x
On développe pour déterminer la forme développée de f :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5\left(x^2-2x+1\right)-4x
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^2-10x+5-4x
La forme développée de f(x) est :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^2-14x+5
Soit f une fonction polynôme du second degré. On dit que \alpha est racine de f si et seulement si f(\alpha)=0.
Soit f la fonction polynôme du second degré définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^2-2x+1
On a :
f(1)=1^2-2\times 1+1=0
1 est donc racine de f.
Une racine d'une fonction polynôme du second degré f est une solution de l'équation f(x)=0 .
Soit f une fonction polynôme du second degré.
\alpha est racine de f si et seulement si on peut factoriser f(x) par (x-\alpha).
Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=2x^2+x-3.
On remarque que :
f(1)=2\times1+1-3=0.
1 est donc racine de f. On peut ainsi factoriser f(x) par (x-1).
On a :
Pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-1)(2x+3).
En effet, pour tout réel x,
(x-1)(2x+3)=2x^2+3x-2x-3=2x^2+x-3.
Soit f une fonction polynôme du second degré. f ne peut pas avoir plus de deux racines réelles.
Soit f une fonction polynôme du second degré. Supposons que f admette au moins trois racines x_1, x_2 et x_3.
Alors on peut factoriser f par (x-x_1), par (x-x_2) et par (x-x_3). On a ainsi une fonction polynôme g telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)g(x)
En développant le nombre de droite, on obtient une expression de degré au moins égal à 3. Comme la fonction f est une fonction polynôme de degré 2, c'est impossible.
Ainsi, une fonction polynôme de degré 2 ne peut pas avoir plus de 2 racines réelles.
Soient a, b et c trois réels tels que a\neq 0. On définit la fonction f sur \mathbb{R} par : \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=ax^2+bx+c. Si f admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie par f(x)=ax^2+bx+c peut s'écrire sous sa forme canonique :
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
Avec :
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=7x^2-14x+9
On a donc :
\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{14}{2\times7}=1
f(\alpha)=f(1)=7-14+9=2
On peut écrire :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=7(x-1)^2+2
Soit f une fonction polynôme de degré 2 d'expression développée ax^2+bx+c.
On factorise par a\neq0 :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)
On écrit ensuite x^2+\dfrac{b}{a}x comme le début du développement de \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 :
\forall x \in \mathbb{R}, \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, x^2+\dfrac{b}{a}x=\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2
Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}\right]
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}\right]
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
En posant \alpha=\dfrac{-b}{2a}, on a :
f(\alpha)=a\left( \dfrac{-b}{2a}+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
f(\alpha)=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
On a donc bien :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).
On peut également utiliser la méthode de la démonstration et retrouver la forme canonique sans utiliser les formules.
Soit g la fonction polynôme de degré 2 définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x+5
On factorise par le coefficient de x^2 :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}\left( x^2-2x+15\right)
On écrit x^2-2x comme le début du développement de (x-1)^2 :
\forall x \in \mathbb{R}, (x-1)^2 =x^2-2x+1, donc (x-1)^2-1=x^2-2x
Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}\left[(x-1)^2-1+15\right]
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}\left[(x-1)^2+14\right]
On obtient la forme canonique suivante :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}(x-1)^2+\dfrac{14}{3}
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c. On appelle discriminant de f(x) le nombre réel :
\Delta=b^2-4ac
Soit f la fonction polynôme de degré 2 définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^2-3x+4.
Le discriminant du polynôme est :
\Delta=b^2-4ac
\Delta=(-3)^2-4\times 5\times 4
\Delta=9-80
\Delta=-71
On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener à une équation du type ax^2+bx+c=0, avec a\neq 0.
On considère l'équation suivante :
(E):(x-1)(3x+2)=5
Pour tout nombre réel x, on a :
(E)\Leftrightarrow (x-1)(3x+2)=5
\Leftrightarrow 3x^2+2x-3x-2=5
\Leftrightarrow 3x^2-x-7=0
L'équation de départ est bien équivalente à une équation du type ax^2+bx+c=0, avec a\neq 0. C'est donc une équation du second degré.
Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), dépend du signe du discriminant \Delta :
On considère l'équation suivante :
(E) : 4x^2-7x+1=0
On a :
\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times 4\times 1=49-16=33
\Delta>0, donc l'équation (E) admet deux solutions réelles distinctes :
Soit f une fonction polynôme du second degré de forme développée f(x)=ax^2+bx+c, avec a\neq 0.
On connaît la forme canonique de f :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]
Et, en reconnaîssant \Delta=b^2-4ac :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]
Si \Delta \lt0
On a :
\Delta<0
Ainsi : -\dfrac{\Delta}{4a^2}>0
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}, \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0
Sous cas 1: si a \gt 0, alors
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)\gt0
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)\lt0
Dans les deux cas, f(x) ne peut donc pas s'annuler sur \mathbb{R} et l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle.
Si \Delta =0
On a :
\Delta =0
La forme précédente devient :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
On a donc bien :
f(x)=0\Leftrightarrow a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Et, comme a\neq0 :
f(x)=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0
f(x)=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=0
f(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}
L'équation n'admet qu'une solution : x_0=\dfrac{-b}{2a}
Si \Delta \gt0
Si \Delta>0, alors \sqrt{\Delta} existe, et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)^2\right]
On reconnaît une identité remarquable :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left( x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x-\left( -\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)\left( x-\left( -\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x-\left( \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)\left( x-\left( \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul. Or, a\neq0. Ainsi :
f(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} ou x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
L'équation admet bien deux solutions réelles distinctes :
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2x^2-6x-5
La fonction f est une fonction polynôme du second degré. On calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac
\Delta=(-6)^2-4\times 2\times (-5)
\Delta=76
Comme \Delta\gt 0, f admet deux racines réelles distinctes :
Ainsi, on peut factoriser f(x) :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2\left(x-\dfrac{3-\sqrt{19}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3+\sqrt{19}}{2}\right)
Soit f une fonction polynôme de forme développée f(x)=ax^2+bx+c admettant deux racines réelles x_1 et x_2. Dans ce cas, on a :
Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3x^2-9x+6.
On admet que f admet deux racines réelles x_1 et x_2 que l'on cherche à déterminer. On sait que :
On obtient mentalement :
Dans des cas simples, si l'énoncé admet leur existence, on peut donc déterminer les racines d'une fonction polynôme du second degré en utilisant les informations sur leur somme et leur produit.
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a\neq 0. On note \Delta le discriminant de f(x).
Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=4x^2-7x+1. Déterminons le signe de f.
La fonction f est une fonction polynôme du second degré de forme développée ax^2+bx+c. Son discriminant est :
\Delta=b^2-4ac
\Delta=(-7)^2-4\times 4\times 1
\Delta=33
Comme \Delta\gt0, f admet deux racines réelles distinctes :
Par ailleurs, f est du signe de a (donc positif) à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de -a (donc négatif) à l'intérieur de cet intervalle.
On obtient le tableau de signes de f :
On appelle inéquation du second degré toute inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type :
ax^2+bx+c\geq 0
(le symbole \geq pouvant être remplacé par \leq, > ou <)
On considère l'inéquation 5(x-1)^2\geq 9x+1. On a, pour tout réel x :
5(x-1)^2\geq 9x+1\Leftrightarrow 5\left(x^2-2x+1\right)\geq 9x+1
5(x-1)^2\geq 9x+1\Leftrightarrow 5x^2-10x+5\geq 9x+1
5(x-1)^2\geq 9x+1\Leftrightarrow 5x^2-19x+4\geq 0
Cette inéquation est une inéquation du second degré.
Résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, puis à sélectionner les intervalles qui correspondent au signe recherché.
Résolvons, sur \mathbb{R}, l'inéquation suivante :
(I) : 5x^2+6x>8x+12
(I)\Leftrightarrow 5x^2-2x-12>0
On détermine le signe du trinôme du second degré d'expression 5x^2-2x-12.
On calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 5\times (-12)=244
\Delta>0, donc f admet deux racines réelles distinctes :
Ainsi, le trinome est du signe de a (donc positif) à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de -a (donc négatif) à l'intérieur de cet intervalle. On obtient le tableau de signes du trinôme :
On sélectionne les intervalles pour lesquels le trinôme est strictement positif, et on obtient les solutions de l'inéquation :
S=\left] -\infty, \frac{1-\sqrt{61}}{5}\right[ \cup \left] \frac{1+\sqrt{61}}{5}, +\infty \right[ .
On ramène l'équation à la forme ax² + bx + c = 0, puis on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ < 0, il n'y a aucune solution réelle ; si Δ = 0, une solution x0 = −b/(2a) ; si Δ > 0, deux solutions x1 = (−b − √Δ)/(2a) et x2 = (−b + √Δ)/(2a).
Pour ax² + bx + c, le discriminant est Δ = b² − 4ac. Exemple : pour 5x² − 3x + 4, Δ = (−3)² − 4 × 5 × 4 = 9 − 80 = −71. Son signe donne le nombre de solutions de l'équation.
C'est une fonction qui s'écrit f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a non nul. Exemple : f(x) = −3x² + (2/3)x + 1 est une fonction polynôme de degré 2.