Équations, fonctions polynômes du second degréCours

I

Définitions

Fonction polynôme du second degré

Une fonction f définie sur \mathbb{R} qui peut s'écrire sous la forme f(x)=ax^2+bx+ca, b, c sont des réels et a est non nul, est appelée fonction polynôme du second degré (ou de degré 2).

Il s'agit de la forme développée de f(x).

On définit sur \mathbb{R} les fonctions f et g par f(x)=−3x^2+\dfrac{2}{3}x+1 et g(x)=7-\dfrac{5}{2}x.

f est une fonction polynôme de degré 2 et g n'en est pas une (il s'agit d'une fonction affine).

Racine

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c, avec a\neq 0.

On dit que \alpha est racine de f(x) si f(\alpha)=0.

Autrement dit, une racine d'une fonction f est une solution de l'équation f(x)=0 .

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par f(x)=x^2−2x+1.

Alors f(1)=1^2−2\times 1+1=0.

1 est une racine de f(x), car c'est une solution de l'équation f(x)=0 .

II

Forme factorisée et conséquences

Soit f une fonction polynôme du second degré de forme développée ax^2+bx+c.

On arrive parfois à écrire f(x) sous la forme factorisée a(x-x_1)(x-x_2).

Dans ce cas, x_1 et x_2 sont les deux racines réelles de f(x).

On considère les deux fonctions polynômes du second degré f et g d'expressions respectives f(x)=3x^2+3x−6 et g(x)=3x^2−6x+3.

Pour tout réel x :

3(x−1)(x+2)=3\left( x^2+2x-x−2\right)=3\left( x^2+x−2\right)=3x^2+3x−6,

et :

3(x−1)^2=3\left( x^2−2x+1\right)=3x^2−6x+3.

Ainsi, pour tout réel x, f(x)=3(x−1)(x+2) et g(x)=3(x−1)^2.

On vient d'obtenir des formes factorisées de f(x) et g(x) du type de la propriété.

Par conséquent, f admet deux racines réelles (1 et −2), et g admet une unique racine réelle, 1.

Soit f une fonction polynôme du second degré.

Si \alpha est racine de f(x), alors on peut factoriser f(x) par (x-\alpha).

Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=2x^2+x−3.

On remarque que f(1)=0.

1 est donc racine de f(x).

Déterminons a et b tels que f(x)=(x−1)(ax+b).

Pour tous réels x, (x−1)(ax+b)=ax^2+bx-ax-b=ax^2+(b-a)x-b.

En choisissant a=2 et b=3, on obtient :

(x−1)(2x+3)=2x^2+x−3=f(x)

On a donc bien factorisé f(x) par (x−1).

Soit f une fonction polynôme du second degré et \alpha un nombre réel.

Si on peut factoriser f(x) par (x-\alpha), alors f(\alpha)=0.

Soit g la fonction polynôme du second degré d'expression g(x)=(x+2)(3x+5).

On a bien g(−2)=0.

−2 est bien racine de g(x).

Cette propriété était en fait la réciproque de la propriété précédente. 

Soit f une fonction polynôme du second degré.

f(x) ne peut pas avoir plus de deux racines réelles.

Voici l'idée directrice de la démonstration.

Soit f une fonction polynôme du second degré.

Nous allons raisonner par l'absurde.

Supposons que f(x) admette au moins trois racines a_1, a_2 et a_3.

Alors, on montre que f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)g(x)g est une fonction polynôme. 

En développant le membre de droite, on obtient une expression de degré au moins égal à 3.

Comme la fonction f est une fonction polynôme de degré 2, c'est impossible.

Soit f une fonction polynôme de forme développée f(x)=ax^2+bx+c admettant une forme factorisée du type a(x-x_1)(x-x_2).

Dans ce cas, on a :

x_1+x_2=\dfrac{-b}{a} et x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}

Autrement dit, dans les conditions de la propriété précédente, on a :

  • la somme des racines est égale à \dfrac{-b}{a},
  • le produit des racines est égal à \dfrac{c}{a}.

Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression :

h(x)=3(x−5)(x+6)

Les racines de h(x) sont x_1=5 et x_2=−6.

Pour tout réel x, h(x)=3\left(x^2+6x−5x−30\right)=3x^2+3x−90.

Son expression développée est h(x)=ax^2+bx+c avec a=3, b=3 et c=−90.

  • La somme des racines de h(x) est 5+(−6)=−1 et \dfrac{-b}{a}=\dfrac{−3}{3}=−1.
  • Le produit des racines de h(x) est 5\times (−6)=−30 et \dfrac{c}{a}=\dfrac{−90}{3}=−30.

Dans des cas simples, on peut se servir de la propriété précédente pour déterminer les racines de h(x) en utilisant les informations sur leur somme et leur produit.

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par
f(x)=3x^2−9x+6.

Si f(x) admet deux racines réelles x_1 et x_2, alors on sait que :

  •  x_1+x_2=\dfrac{-(−9)}{3}=3
  •  x_1\times x_2=\dfrac{6}{3}=2

 

Ici, on voit que x_1=1 et x_2=2 conviennent.

Ce sont donc les racines de f(x).

III

Forme canonique et conséquences

A

Forme canonique

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie par f(x)=ax^2+bx+c peut s'écrire sous la forme :

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).

Soit f une fonction polynôme de degré 2 d'expression développée ax^2+bx+c.

Factorisons par a (qui est non nul) :

Pour tout réel x, f(x)=a\left( x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right).

Écrivons x^2+\dfrac{b}{a}x comme le début du développement de \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 :

x^2+\dfrac{b}{a}x=\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2

Ainsi, pour tout réel x :

f(x)=a\left[ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}\right]

f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]

f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}\right]

f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a^2}\right]

f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

En posant \alpha=\dfrac{-b}{2a}, on a :

f(\alpha)=a\left( \dfrac{-b}{2a}+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

f(\alpha)=-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

 

On a donc bien, pour tout réel x, f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).

Forme canonique

L'écriture a(x-\alpha)^2+\beta s'appelle la forme canonique de f.

On considère la fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb{R} par

f(x)=3x^2−5x+6.

On a donc f(x)=ax^2+bx+c, avec a=3, b=−5 et c=6.

La forme canonique de f est donc a(x-\alpha)^2+\beta avec : 

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{5}{6} 

\beta=f(\alpha)=f\left( \dfrac{5}{6}\right)=3\times \left( \dfrac{5}{6}\right)^2−5\times \dfrac{5}{6}+6=\dfrac{47}{12}

Ainsi, la forme canonique de f est :

f(x) = 3\left( x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{47}{12}

On peut également utiliser la méthode de la démonstration et retrouver la forme canonique sans utiliser les formules.

Soit g la fonction polynôme de degré 2 définie sur \mathbb{R} par :
g(x)=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x+5

On factorise par le coefficient de x^2 :

g(x)=\dfrac{1}{3}\left( x^2−2x+15\right)

On écrit x^2−2x comme le début du développement de (x−1)^2 :

x^2−2x=(x−1)^2−1

Ainsi, pour tout nombre réel x :

g(x)=\dfrac{1}{3}\left[(x−1)^2−1+15\right]

g(x)=\dfrac{1}{3}\left[(x−1)^2+14\right]

g(x)=\dfrac{1}{3}(x−1)^2+\dfrac{14}{3} est la forme canonique de g.

B

Résolution d'une équation du second degré

Discriminant

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c.

On appelle discriminant de f le nombre réel \Delta=b^2−4ac.

Équation du second degré

On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener à une équation du type ax^2+bx+c=0, avec a\neq 0.

L'équation (x−1)(3x+2)=5, d'inconnue x, est une équation du second degré.

En effet, pour tout nombre réel x, (x−1)(3x+2)=5 \Leftrightarrow 3x^2+2x−3x−2=5 \Leftrightarrow 3x^2-x−7=0.

L'équation de départ est bien équivalente à une équation du type ax^2+bx+c=0, avec a\neq 0.

Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), d'inconnue x, dépend du signe du discriminant \Delta de l'expression ax^2+bx+c.

  • Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle.
  • Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
  • Si \Delta>0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Reprenons la forme suivante de f(x) obtenue dans la démonstration de la forme canonique :

f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a^2}\right]

Posons \Delta=b^2−4ac.

Ainsi, la forme précédente de f(x) peut s'écrire :

f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]

  • Si \Delta<0, alors -\dfrac{\Delta}{4a^2}>0 et \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0 pour tout réel x.

f(x) ne peut donc pas s'annuler sur \mathbb{R} et l'équation ax^2+bx+c=0 n'admet aucune solution réelle.

  • Si \Delta=0, la forme précédente devient :

f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2

On a donc bien :

f(x)=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=0,

f(x)=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=0\text{ ou } x+\dfrac{b}{2a}=0,

c'est-à-dire f(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}.

L'équation ax^2+bx+c=0 admet donc une unique solution x_0=-\dfrac{b}{2a}.

Cette solution est dite « double » car f(x)=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=0\text{ ou } x+\dfrac{b}{2a}=0

On obtient deux fois la même solution.

  • Si \Delta>0, alors \sqrt{\Delta} existe, et on a :

f(x)=0\Leftrightarrow \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\left( \sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}=0

f(x)=0\Leftrightarrow \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left( \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2

f(x)=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} ou x+\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}

f(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} ou x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

Dans ce cas l'équation ax^2+bx+c=0 admet bien deux solutions réelles distinctes : 

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Notons (E_1) et (E_2) les équations suivantes :

(E_1) : 2x^2−6x+5=0 et (E_2) : 4x^2−7x+1=0

  •  Résolution de (E_1) :

C'est une équation du second degré du type ax^2+bx+c=0, avec a=2, b=−6 et c=5.

Le discriminant est \Delta_1=b^2−4ac=(−6)^2−4\times 2\times 5=36−40=−4.

\Delta_1<0

L'équation (E_1) n'admet donc aucune solution réelle.

  •  Résolution de (E_2) :

C'est une équation du second degré du type ax^2+bx+c=0, avec a=4, b=−7 et c=1.

Le discriminant est \Delta_2=b^2−4ac=(−7)^2−4\times 4\times 1=49−16=33.

\Delta_2>0

Donc l'équation (E_2) admet deux solutions réelles distinctes :

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-\sqrt{33}}{8}

et

x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+\sqrt{33}}{8}

L'ensemble des solutions de l'équation (E_2) est donc \left\{\dfrac{7-\sqrt{33}}{8};\dfrac{7+\sqrt{33}}{8}\right\}.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c et \Delta=b^2−4ac le discriminant associé.

Avec les notations du théorème précédent, on obtient :

  • Si \Delta<0, f(x) n'admet pas de forme factorisée dans \mathbb{R}.
  • Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2.
  • Si \Delta>0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Pour tout réel x, posons f(x)=2x^2−6x+5 et g(x)=4x^2−7x+1.

D'après les exemples précédents, f(x) n'admet pas de factorisation dans \mathbb{R} car son discriminant est strictement négatif.

g(x) admet pour factorisation :

g(x)=4\left( x-\dfrac{7-\sqrt{33}}{8}\right)\left( x-\dfrac{7+\sqrt{33}}{8}\right)

C

Résolution d'une inéquation du second degré

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a\neq 0.

Avec les notations du théorème précédent, on a :

  • Si \Delta<0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}.
  • Si \Delta=0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}.
  • Si \Delta>0, f(x) est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2 et du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.

Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=4x^2−7x+1.

D'après l'exemple précédent, on sait que le discriminant est \Delta=33 et que f(x) admet deux racines réelles distinctes :

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-\sqrt{33}}{8}

et

x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+\sqrt{33}}{8}

Comme le coefficient de x^2 est a=4>0, on obtient :

  • f(x)>0 \Leftrightarrow x<x_1\text{ ou } x>x_2
  • f(x)<0\Leftrightarrow x_1<x<x_2
  • f(x)=0\Leftrightarrow x\in\{x_1;x_2\}

 

En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

-

Inéquation du second degré

On appelle inéquation du second degré toute inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type ax^2+bx+c\geq 0, le symbole \geq pouvant être remplacé par \leq, > ou <.

La propriété précédente permet de résoudre les inéquations du second degré.

En ramenant une inéquation du second degré à une inéquation du type ax^2+bx+c\geq 0 (le symbole \geq pouvant être remplacé par \leq, > ou <), résoudre l'inéquation revient à déterminer le signe de f(x)=ax^2+bx+c.

La propriété précédente et un tableau de signes permettent donc de conclure.

Résolvons, sur \mathbb{R}, l'inéquation (I) : 5x^2+6x>8x+12.

Soit x\in\mathbb{R}.

(I)\Leftrightarrow 5x^2−2x−12>0

Posons f(x)=5x^2−2x−12 et déterminons son signe.

f est une fonction polynôme du second degré d'expression ax^2+bx+c avec a=5, b=−2 et c=−12.

Le discriminant de f est :

\Delta=b^2−4ac=(−2)^2−4\times 5\times (−12)=244

\Delta>0, donc f(x) admet deux racines réelles distinctes :

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{244}}{10}=\dfrac{2−2\sqrt{61}}{10}=\dfrac{1-\sqrt{61}}{5}

et

x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+\sqrt{244}}{10}=\dfrac{2+2\sqrt{61}}{10}=\dfrac{1+\sqrt{61}}{5}.

Comme le coefficient de x^2 est a=5>0, on obtient le tableau de signes suivant :

-

Ainsi, f(x)>0\Leftrightarrow x<x_1\text{ ou } x>x_2.

L'ensemble des solutions de l'inéquation (I) est  \left[-\infty;\dfrac{1-\sqrt{61}}{5}\right]\cup\left[\dfrac{1+\sqrt{61}}{5};+\infty\right].

IV

Bilan

On considère f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c et de forme canonique a(x-\alpha)^2+\beta.

Le calcul du discriminant permet... La forme canonique permet... La forme factorisée permet...
  • de déterminer les éventuelles racines de f(x) ;
  • d'obtenir une éventuelle forme factorisée ;
  • d'obtenir le tableau de signes de f(x) (à partir des éventuelles racines et du signe de a).

 
  • d'obtenir les variations de f en fonction de \alpha et du signe de a (vu en 2de) ;
  • d'obtenir les coordonnées du sommet de la parabole représentant f (vu en 2de).

 
  • d'obtenir le tableau de signes de f(x) ;
  • de déterminer les racines de f.