Équations, fonctions polynômes du second degréCours

I

Définitions

Fonction polynôme du second degré

Soient a, b, c trois réels tels que a\neq0, et soit f une fonction définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=ax^2+bx+c

f est appelée fonction polynôme du second degré (ou fonction polynôme de degré 2).

Soit la fonction f définie sur  \mathbb{R}  par :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=−3x^2+\dfrac{2}{3}x+1 

f est une fonction polynôme de degré 2.

Racine d'une fonction polynôme du second degré

Soit f une fonction polynôme du second degré. On dit que \alpha est racine de f si et seulement si f(\alpha)=0.

Soit f la fonction polynôme du second degré définie par :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=x^2−2x+1

On a :

f(1)=1^2−2\times 1+1=0

1 est donc racine de f.

Une racine d'une fonction polynôme du second degré f est une solution de l'équation f(x)=0 .

II

Les différentes formes d'une fonction polynôme du second degré

Un polynôme du second degré peut s'écrire sous forme développée, sous forme factorisée (s'il admet des racines) et sous forme canonique

A

La forme développée

Forme développée d'une fonction polynôme du second degré

On appelle forme développée d'une fonction polynôme du second degré sa forme du type f(x)=ax^2+bx+c.

On considère la fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R},  f(x)=5(x−1)^2−4x

On développe pour déterminer la forme développée de f :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5\left(x^2−2x+1\right)−4x

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^2−10x+5−4x

La forme développée de f(x) est :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^2−14x+5

B

La forme factorisée

Soit f une fonction polynôme du second degré.

\alpha est racine de f si et seulement si on peut factoriser f(x) par (x-\alpha).

Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=2x^2+x−3.

On remarque que :

f(1)=2\times1+1−3=0.

1 est donc racine de f. On peut ainsi factoriser f(x) par (x−1).

On a :

Pour tout  x \in \mathbb{R}f(x)=(x−1)(2x+3).

En effet, pour tout réel x,

(x−1)(2x+3)=2x^2+3x−2x−3=2x^2+x−3.

Le nombre maximum de racines d'une fonction polynôme du second degré

Soit f une fonction polynôme du second degré. f ne peut pas avoir plus de deux racines réelles.

Soit f une fonction polynôme du second degré. Supposons que f admette au moins trois racines x_1, x_2 et x_3.

Alors on peut factoriser f par  (x-x_1), par  (x-x_2)  et par  (x-x_3). On a ainsi une fonction polynôme g telle que :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)g(x)

En développant le membre de droite, on obtient une expression de degré au moins égal à 3. Comme la fonction f est une fonction polynôme de degré 2, c'est impossible.

Ainsi, une fonction polynôme de degré 2 ne peut pas avoir plus de 2 racines réelles.

Forme factorisée d'un polynôme du second degré

Soient ab et c trois réels tels que  a\neq 0. On définit la fonction f sur  \mathbb{R}  par :  \forall x \in \mathbb{R}f(x)=ax^2+bx+c. Si f admet deux racines réelles  x_1  et  x_2, alors f peut s'écrire sous sa forme factorisée :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

C

La forme canonique

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie par f(x)=ax^2+bx+c peut s'écrire sous sa forme canonique :

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Avec :

  • \alpha=\dfrac{-b}{2a}  
  • \beta=f(\alpha)=-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=7x^2−14x+9

On a donc :

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{14}{2\times7}=1

f(\alpha)=f(1)=7-14+9=2

On peut écrire :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=7(x−1)^2+2

Soit f une fonction polynôme de degré 2 d'expression développée ax^2+bx+c.

On factorise par a\neq0 :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)

On écrit ensuite x^2+\dfrac{b}{a}x comme le début du développement de \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 :

\forall x \in \mathbb{R}, \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2

Donc :

\forall x \in \mathbb{R}, x^2+\dfrac{b}{a}x=\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2

Ainsi :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}\right]

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}\right]

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a^2}\right]

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

En posant \alpha=\dfrac{-b}{2a}, on a :

f(\alpha)=a\left( \dfrac{-b}{2a}+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

f(\alpha)=-\dfrac{b^2−4ac}{4a}

On a donc bien :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).

On peut également utiliser la méthode de la démonstration et retrouver la forme canonique sans utiliser les formules.

Soit g la fonction polynôme de degré 2 définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x+5

On factorise par le coefficient de x^2 :

\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}\left( x^2−2x+15\right)

On écrit x^2−2x comme le début du développement de (x−1)^2 :

\forall x \in \mathbb{R}, (x−1)^2 =x^2−2x+1, donc (x−1)^2−1=x^2−2x

Ainsi :

\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}\left[(x−1)^2−1+15\right]

\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}\left[(x−1)^2+14\right]

On obtient la forme canonique suivante :

\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{1}{3}(x−1)^2+\dfrac{14}{3} 

III

Les équations et inéquations du second degré

On sait désormais résoudre des équations et inéquations du second degré.

A

La résolution d'une équation du second degré

Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax^2+bx+c=0, on détermine les éventuelles racines du trinôme. Le nombre appelé discriminant du trinôme est particulièrement utile dans la recherche des solutions d'une équation du second degré.

1

La résolution d'une équation du second degré à l'aide du discriminant

Discriminant

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c. On appelle discriminant de f(x) le nombre réel :

\Delta=b^2−4ac

Soit f la fonction polynôme de degré 2 définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x^2−3x+4.

Le discriminant du polynôme est :

\Delta=b^2-4ac

\Delta=(-3)^2-4\times 5\times 4

\Delta=9-80

\Delta=-71

Équation du second degré

On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener à une équation du type ax^2+bx+c=0, avec a\neq 0.

On considère l'équation suivante :

(E):(x−1)(3x+2)=5

Pour tout nombre réel x, on a :

(E)\Leftrightarrow (x−1)(3x+2)=5

 \Leftrightarrow 3x^2+2x−3x−2=5

 \Leftrightarrow 3x^2-x−7=0

L'équation de départ est bien équivalente à une équation du type ax^2+bx+c=0, avec a\neq 0. C'est donc une équation du second degré.

Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), dépend du signe du discriminant \Delta :

  • Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle.
  • Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
  • Si \Delta>0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

On considère l'équation suivante :

(E) : 4x^2−7x+1=0

On a :

\Delta=b^2−4ac=(−7)^2−4\times 4\times 1=49−16=33

\Delta>0, donc l'équation (E) admet deux solutions réelles distinctes :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-\sqrt{33}}{8}
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+\sqrt{33}}{8}

Soit f une fonction polynôme du second degré de forme développée f(x)=ax^2+bx+c, avec a=\neq 0.

On connaît la forme canonique de f :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2−4ac}{4a^2}\right]

Et, en reconnaîssant \Delta=b^2−4ac :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]

Cas 1

Si  \Delta \lt0

On a :

\Delta<0

Ainsi :

-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0 

D'où :

\forall x \in \mathbb{R}\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0

\forall x \in \mathbb{R}f(x)\gt0

f(x) ne peut donc pas s'annuler sur \mathbb{R} et l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle.

Cas 2

 Si  \Delta =0

On a :

(\Delta=0\)

La forme précédente devient :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2

On a donc bien :

f(x)=0\Leftrightarrow a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Et, comme  a\neq0  :

f(x)=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0

f(x)=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=0

f(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}

L'équation n'admet qu'une solution :  x_0=\dfrac{-b}{2a}

Cas 3

  Si  \Delta \gt0

Si \Delta>0, alors \sqrt{\Delta} existe, et on a :

  \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left[\left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left( \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)^2\right]

On reconnaît une identité remarquable :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=a\left( x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left( x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=a\left( x-\left( -\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)\left( x-\left( -\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=a\left( x-\left( \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)\left( x-\left( \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right)

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul. Or,  a\neq0. Ainsi :

f(x)=0   \Leftrightarrow   x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}  ou x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

L'équation admet bien deux solutions réelles distinctes : 

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} 
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c.

  • Si \Delta<0, f(x) n'admet pas de forme factorisée.
  • Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2, avec x_0 la racine double de f.
  • Si \Delta>0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.

Soit f la fonction définie par :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=2x^2−6x−5

La fonction f est une fonction polynôme du second degré. On calcule son discriminant :

\Delta=b^2-4ac

\Delta=(-6)^2-4\times 2\times (-5)

\Delta=76

Comme \Delta\gt 0, f admet deux racines réelles distinctes :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{76}}{4}=\dfrac{6−2\sqrt{19}}{4}=\dfrac{3-\sqrt{19}}{2}
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+\sqrt{76}}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{19}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{19}}{2}

Ainsi, on peut factoriser f(x) :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2\left(x-\dfrac{3-\sqrt{19}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3+\sqrt{19}}{2}\right)

2

 La détermination des racines à l'aide de leur somme et de leur produit

Soit f une fonction polynôme de forme développée f(x)=ax^2+bx+c admettant deux racines réelles  x_1  et  x_2. Dans ce cas, on a :

  • x_1+x_2=\dfrac{-b}{a} 
  • x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=3x^2−9x+6.

On admet que f admet deux racines réelles x_1  et  x_2  que l'on cherche à déterminer. On sait que :

  •  x_1+x_2=\dfrac{-(−9)}{3}=3
  •  x_1\times x_2=\dfrac{6}{3}=2

On obtient mentalement :

  • x_1=1
  • x_2=2

Dans des cas simples, si l'énoncé admet leur existence, on peut donc déterminer les racines d'une fonction polynôme du second degré en utilisant les informations sur leur somme et leur produit.

B

Résolution d'une inéquation du second degré

Le signe d'un trinôme du second degré dépend du signe de son discriminant et du signe de a. On peut ainsi résoudre des inéquations du second degré.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a\neq 0. On note \Delta le discriminant de f(x).

  • Si \Delta<0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}.
  • Si \Delta=0, f(x) est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
  • Si \Delta>0, f(x) est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle, et nul en x_1 et  x_2.

Considérons f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=4x^2−7x+1. Déterminons le signe de f.

La fonction f est une fonction polynôme du second degré de forme développée ax^2+bx+c. Son discriminant est :

\Delta=b^2-4ac

\Delta=(-7)^2-4\times 4\times 1

\Delta=33

Comme \Delta\gt0, f admet deux racines réelles distinctes :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-\sqrt{33}}{8}
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+\sqrt{33}}{8}

Par ailleurs, f est du signe de a (donc positif) à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de  -a  (donc négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

On obtient le tableau de signes de f :

-

Inéquation du second degré

On appelle inéquation du second degré toute inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type :

ax^2+bx+c\geq 0

(le symbole \geq pouvant être remplacé par \leq, > ou <)

On considère l'inéquation 5(x−1)^2\geq 9x+1. On a, pour tout réel x :

5(x−1)^2\geq 9x+1\Leftrightarrow 5\left(x^2−2x+1\right)\geq 9x+1

5(x−1)^2\geq 9x+1\Leftrightarrow 5x^2−10x+5\geq 9x+1

5(x−1)^2\geq 9x+1\Leftrightarrow 5x^2−19x+4\geq 0

Cette inéquation est une inéquation du second degré.

Résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, puis à sélectionner les intervalles qui correspondent au signe recherché.

Résolvons, sur \mathbb{R}, l'inéquation suivante :

(I) : 5x^2+6x>8x+12

(I)\Leftrightarrow 5x^2−2x−12>0

On détermine le signe du trinôme du second degré d'expression 5x^2−2x−12.

On calcule son discriminant :

\Delta=b^2−4ac=(−2)^2−4\times 5\times (−12)=244

\Delta>0, donc f admet deux racines réelles distinctes :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{244}}{10}=\dfrac{2−2\sqrt{61}}{10}=\dfrac{1-\sqrt{61}}{5}
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+\sqrt{244}}{10}=\dfrac{2+2\sqrt{61}}{10}=\dfrac{1+\sqrt{61}}{5}

Ainsi, le trinome est du signe de a (donc positif)  à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de  -a  (donc négatif) à l'intérieur de cet intervalle. On obtient le tableau de signes du trinôme :

-

On sélectionne les intervalles pour lesquels le trinôme est strictement positif, et on obtient les solutions de l'inéquation :

S=\left] -\infty, \frac{1-\sqrt{61}}{5}\right[ \cup \left] \frac{1+\sqrt{61}}{5}, +\infty \right[ .