On veut résoudre l'inéquation suivante :
\sqrt{4-2x} \geqslant 2-x
Sur quel ensemble de définition D l'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x est-elle définie ?
Afin de connaître le domaine de définition de l'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x , il faut connaître les domaines de définition de ses deux termes :
\sqrt{4-2x} est définie si et seulement si 4-2x \geqslant 0.
Or :
4-2x \geqslant 0 \Leftrightarrow 4 \geqslant 2x
4-2x \geqslant 0 \Leftrightarrow x\leqslant 2
Donc \sqrt{4-2x} est définie sur ]-\infty;2].
2-x est définie sur \mathbb{R}.
Ainsi on a :
D = ]-\infty;2] \cap \mathbb{R} = ]-\infty;2]
On peut donc chercher des solutions à l'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x sur :
D = ]-\infty ; 2]
On admet l'équivalence suivante :
Soient A \in \mathbb{R}^+ et B \in \mathbb{R}
\sqrt{A} \geqslant B \Leftrightarrow soit B \leqslant 0 soit \begin{cases} A \geqslant B^2 \cr \cr B \geqslant 0 \end{cases}
D'après cette équivalence et le résultat précédent, à quel système l'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x est-elle équivalente ?
Soient A \in \mathbb{R}^+ et B \in \mathbb{R} .
\sqrt{A} \geqslant B \Leftrightarrow soit B \leqslant 0 soit \begin{cases} A \geqslant B^2 \cr \cr B \geqslant 0 \end{cases}
On va appliquer cette équivalence à notre inéquation.
Soit x \in D= ]-\infty;2].
On pose :
A = 4 - 2x
Et :
B = 2-x
On a bien A \in \mathbb{R}^+ car x \leqslant 2 et B \in \mathbb{R} .
On peut donc appliquer l'équivalence :
\sqrt{A} \geqslant B \Leftrightarrow soit B \leqslant 0 soit \begin{cases} A \geqslant B^2 \cr \cr B \geqslant 0 \end{cases}
Or, dans le cas présent :
x \leqslant 2
Donc :
B = 2-x \geqslant 0
Le cas où B \leqslant 0 est impossible.
Donc :
\sqrt{A} \geqslant B \Leftrightarrow \begin{cases} A \geqslant B^2 \cr \cr B \geqslant 0 \end{cases} \begin{cases} A \geqslant B^2 \cr \cr B \geqslant 0 \end{cases}
L'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x est donc équivalente au système :
\begin{cases} 4-2x \geqslant (2-x)^2 \cr \cr 2-x \geqslant 0 \end{cases}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation 4-2x \geqslant (2-x)^2 ?
On a :
4-2x \geqslant (2-x)^2 \Leftrightarrow 4-2x \geqslant 4-4x+x^2
4-2x \geqslant (2-x)^2 \Leftrightarrow x^2-2x \leqslant 0
On sait résoudre l'inéquation x^2-2x \leqslant 0 car x^2 -2x est un polynôme du second degré.
x^2 -2x est un polynôme du second degré avec a=1, b=-2 et c = 0 .
On sait que le signe de ce polynôme sera celui de a, donc positif, sauf entre ses racines.
On cherche les racines du polynôme.
On remarque que 0 est racine évidente.
On peut donc factoriser le polynôme par x :
x^2 -2x = x(x-2)
On obtient immédiatement la deuxième racine : 2.
Ainsi x^2 -2x est positif sur ]-\infty;0] \cap [2;+\infty[ et est négatif sur [0\text{ };2] .
Donc :
4-2x \geqslant (2-x)^2 \Leftrightarrow x \in [0;2]
L'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation 4-2x \geqslant (2-x)^2 est donc :
S_1 = [0\text{ };2]
Quel est l'ensemble S des solutions de l'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x ?
On a montré que :
\sqrt{4-2x} \geqslant 2-x \Leftrightarrow \begin{cases} 4-2x \geqslant (2-x)^2 \cr \cr 2-x \geqslant 0 \end{cases}
Et que l'ensemble des solutions de l'inéquation 4-2x \geqslant (2-x)^2 est S_1 = [0\text{ };2] .
Donc :
\sqrt{4-2x} \geqslant 2-x \Leftrightarrow \begin{cases} x\in [0;2] \cr \cr 2-x \geqslant 0 \end{cases}
En outre :
2-x \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 2
Donc :
\sqrt{4-2x} \geqslant 2-x \Leftrightarrow \begin{cases} x\in [0;2] \cr \cr x \leqslant 2 \end{cases}
\sqrt{4-2x} \geqslant 2-x \Leftrightarrow x\in [0;2]
Enfin, [0\text{ };2 ] est bien inclus dans le domaine de définition D de l'inéquation.
Donc S = [0\text{ };2 ]
L'ensemble S des solutions de l'inéquation \sqrt{4-2x} \geqslant 2-x est donc :
S = [0\text{ };2]