Dans les cas suivants, déterminer l'équation du second degré permettant de résoudre le problème proposé.
Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noël.
Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes.
On sait qu'au total 468 cadeaux ont été déposés près de l'arbre de Noël.
Soit x le nombre de personnes.
Quelle équation permet de connaître le nombre de personnes présentes à la fête ?
Soit x le nombre de personnes.
D'après l'énoncé, on a x personnes offrant 3 cadeaux à chacune des (x-1) autres personnes.
Donc le nombre de cadeaux est :
3x(x-1)
Or, on cherche x tel que le nombre total de cadeaux sous le sapin soit 468.
On obtient l'équation :
3x(x-1)=468
Cette équation est équivalente à :
3x^2-3x=468
Soit :
3x^2-3x-468=0
L'équation à résoudre est donc :
3x^2-3x-468=0
La somme des carrés de trois nombres entiers consécutifs vaut 7 805.
En notant n le plus petit de ces entiers, quelle équation permet de déterminer la valeur de n ?
Soit n un nombre entier.
La somme des carrés des trois entiers consécutifs n, n+1 et n+2 est :
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2
On cherche n tel que :
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=\text{7 805}
Cette équation est équivalente à :
n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=\text{7 805}
Soit :
3n^2+6n+5=\text{7 805}
3n^2+6n-\text{7 800}=0
L'équation à résoudre est :
3n^2+6n-\text{7 800}=0
Une station essence achète de l'essence pour 0,86 € par litre et la vend 1,51 € par litre.
À ce prix, la station vend 1 200 litres par jour.
Si le gérant de la station baisse son prix de vente de 2 centimes, il vendra 120 litres de plus par jour.
Le gérant souhaite faire 1 080 € de bénéfice.
Quelle équation permet de déterminer le nombre d'augmentation ou de diminution de 2 centimes pour remplir l'objectif de bénéfice ?
Le bénéfice sur la vente d'un litre d'essence au prix de 1{,}51+0{,}02x\text{ €} suit la fonction suivante :
P(x) = 1{,}51+ 0{,}02x - 0{,}86 = 0{,}65+0{,}02x
avec x le nombre d'élévation de 2 centimes du prix de l'essence.
Le volume vendu dépend également du prix, si le prix diminue de 2 centimes alors le volume augmente de 120 litres.
Ainsi le volume vendu suit la fonction suivante :
V(x) = \text{1 200} - 120x
Ainsi le bénéfice peut être modélisé par la fonction suivante :
B(x) = V(x)P(x) = (\text{1 200}-120x)(0{,}65+0{,}02x)
Le gérant souhaite réaliser 1 080 € de bénéfice par jour.
L'équation à résoudre est donc :
(\text{1 200}-120x)(0{,}65+0{,}02x) = \text{1 080}
Une agence immobilière possède 1 000 appartements qui sont occupé à 80 % si le loyer est de 500 € par mois.
Si le prix augmente de 100 €, le taux de location baisse de 5 %.
Le gérant souhaite faire 800 000 € de chiffre d'affaires.
Quelle équation permet de déterminer le nombre d'augmentations de 100 € afin de remplir l'objectif ?
Le chiffre d'affaires de l'agence est défini par la formule suivante : C(x) = t(x) \times \text{1 000} \times p(x) .
Avec t le taux d'occupation qui vaut : t(x) = 0{,}8-0{,}05x
et p le prix de location qui vaut : p(x) = 500 + 100x
Ainsi :
C(x) = (0{,}8-0{,}05x) \times \text{1 000} \times (500+100x)
\Leftrightarrow C(x) =\text{100 000} (0{,}8-0{,}05x) (5+x)
On souhaite un chiffre d'affaires de 800 000 €, ce qui se traduit par :
C(x) =\text{800 000}
\Leftrightarrow \text{100 000} (0{,}8-0{,}05x) (5+x) = \text{800 000}
\Leftrightarrow (0{,}8-0{,}05x) (5+x) = 8
L'équation à résoudre est donc :
(0{,}8-0{,}05x) (5+x) = 8
Une restaurant possède 120 tables de deux couverts qui sont réservées à 70 % si le prix du menu est à 15 €.
Si le prix augmente de 2 €, le taux de réservation baisse de 2 %.
Le gérant souhaite faire 5 000 € de chiffre d'affaires par service.
Quelle équation permet de déterminer le nombre d'augmentations de 2 € afin de remplir l'objectif ?
Le chiffre d'affaires du restaurant est défini par la formule suivante :
C(x) = t(x) \times 240 \times p(x)
Avec t le taux de réservation qui vaut :
t(x) = 0{,}7-0{,}02x
et p le prix de location qui vaut :
p(x) = 15 + 2x
Ainsi :
C(x) = (0{,}7-0{,}02x) \times 240 \times (15+2x)
\Leftrightarrow C(x) =240 (0{,}7-0{,}02x) (15+2x)
On souhaite un chiffre d'affaires de 5 000 €, ce qui se traduit par :
C(x) = \text{5 000}
\Leftrightarrow 240 (0{,}7-0{,}02x) (15+2x) = \text{5 000}
\Leftrightarrow 24 (0{,}7-0{,}02x) (15+2x)= 500
L'équation à résoudre est donc :
24 (0{,}7-0{,}02x) (15+2x)= 500