Soit f une fonction polynôme de degré 2 d'expression développée f(x)=ax^2+bx+c.
Avec a \neq 0.
On souhaite écrire f sous sa forme canonique.
Quelle est la forme de f factorisée par a ?
On a f(x) = ax^2+bx+c .
On peut factoriser par a car a \neq 0 :
f(x) = ax^2+bx+c
f(x) = a(\frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} )
f(x) = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} )
La forme de f factorisée par a est donc :
f(x) = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} )
Quelle est la forme développée du terme : (x+\frac{b}{2a})^2 ?
Pour développer (x+\frac{b}{2a})^2, on utilise l'identité remarquable suivante :
(u+v)^2=u^2+2uv+v^2
Ici on a :
u = x et v=\frac{b}{2a}
On obtient ainsi :
(x+\frac{b}{2a})^2 = x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}
La forme développée de (x+\frac{b}{2a})^2 est donc :
(x+\frac{b}{2a})^2 = x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}
Quelle est la forme de f qui fait apparaître le terme (x+\frac{b}{2a})^2 ?
On a montré dans la première question que :
f(x) = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} )
Dans la deuxième question on a montré que :
(x+\frac{b}{2a})^2 = x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}
On voit que :
(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}= x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}
(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}= x^2+\frac{b}{a}x
On retrouve le terme x^2+\frac{b}{a}x dans la forme de f démontrée à la première question.
On peut donc injecter (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} dans f(x) = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} ).
La forme de f qui fait apparaître le terme (x+\frac{b}{2a})^2 est donc :
f(x) = a\left((x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} \right)
Quels sont les coefficients \alpha et \beta de la forme canonique de f ?
La forme canonique du polynôme f est la suivante :
f(x)= a(x-\alpha)^2+\beta
On cherche la valeur des coefficients \alpha et \beta en fonction de a, b et c.
On a :
f(x) = a\left((x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} \right)
Donc :
f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - a\frac{b^2}{4a^2}+a\frac{c}{a}
On peut identifier :
\alpha = -\frac{b}{2a}
et
\beta = -a\frac{b^2}{4a^2}+a\frac{c}{a}
En réorganisant \beta, on obtient :
\beta = - \frac{b^2}{4a}+c
\beta = \frac{b^2-4ac}{4a}
Ainsi la forme canonique de f est f(x) = a(x-\alpha)^2 +\beta avec :
\alpha = \dfrac{-b}{2a}
\beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}