On souhaite trouver une formule permettant de factoriser simplement la fonction f_n(x)=x^n-1 par x-1 pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1.
Dans le cas n=1, on a directement f_1(x)=x-1.
Soit n=2.
Quelle est la forme de f_2 factorisée par x-1 ?
Soit n=2.
On a :
f_2(x) = x^2-1
On reconnaît l'identité remarquable suivante :
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
La forme factorisée de f_2 par x-1 est donc :
f_2(x) = (x-1)(x+1)
Soit n=3.
Quelle est la forme de f_3 factorisée par x-1 ?
Soit n=3.
On a :
f_3(x) = x^3-1
1 est une racine évidente du polynôme x^3-1, on peut donc le factoriser par x-1.
On peut alors écrire f_3 sous la forme :
f_3(x=(x-1)(ax^2+bx+c)\)
avec a, b et c trois réels quelconques.
On cherche les valeurs de a, b et c.
f_3(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c
f_3(x) = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
On a donc :
x^3-1 = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
Par identification, on a :
\begin{cases} 1=a \cr \cr 0=b-a \cr \cr 0=c-b \cr \cr c=1 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=1\cr \cr b=a \cr \cr c=b \cr \cr c=1 \end{cases}
On a donc :
a=b=c=1
La forme factorisée de f_3 par x-1 est donc :
f_3(x) = (x-1)(x^2+x+1)
Soit n=4.
Quelle est la forme de f_4 factorisée par x-1 ?
Soit n=4.
On a :
f_4(x) = x^4-1
1 est une racine évidente du polynôme x^4-1, on peut donc le factoriser par x-1.
On peut alors écrire f_4 sous la forme :
f_4(x=(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d)\)
avec a, b, c et d quatre réels quelconques.
On cherche les valeurs de a, b, c, et d.
f_4(x) = (x-1)(ax^3+bx^2+cx+d) = ax^4+bx^3+cx^2+dx-ax^3-bx^2-cx-d
f_4(x) = ax^4+(b-a)x^3+(c-b)x^2+(d-c)x-d
On a donc :
x^4-1 = ax^4+(b-a)x^3+(c-b)x^2+(d-c)x-d
Par identification, on a :
\begin{cases} 1=a \cr \cr 0=b-a \cr \cr 0=c-b \cr \cr 0=d-c \cr \cr 1=d \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=1\cr \cr b=a \cr \cr c=b \cr \cr d=c\cr \cr 1=d \end{cases}
On a donc :
a=b=c=d=1
La forme factorisée de f_4 par x-1 est donc :
f_4(x) = (x-1)(x^3+x^2+x+1)
D'après les résultats précédents, quelle conjecture peut-on faire sur la forme factorisée de f_n par x-1 ?
On a montré que :
f_1(x) = (x-1)
f_2(x) = (x-1)(x+1)
f_3(x) = (x-1)(x^2+x+1)
f_4(x) = (x-1)(x^3+x^2+x+1)
Si l'on note g_n la fonction telle que pour tout n f_n(x)=(x-1)g_n(x), on voit que pour passer de g_n(x) à g_{n+1}(x) il faut ajouter x^n.
C'est-à-dire :
g_{n+1}(x) = x^n + g_n(x)
En effet :
g_1(x) = 1
g_2(x) = x +1 = x + g_1(x)
g_3(x) = x^2 + x + 1 = x^2 + g_2(x)
g_4(x) = x^3+x^2 +x + 1 = x^3 + g_2(x)
On peut donc conjecturer que :
\forall n \in \mathbb{N}, x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+x+1)
On reconnaît que g_n est la somme des n-1 premiers termes de la suite (x^{n}).
Soit x \in \mathbb{R}\backslash{1}.
Soit (u_n) la suite telle que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=x^n
Quelle est la somme des n premiers termes de la suite (u_n) ?
Soit x \in \mathbb{R}\backslash{1}.
Soit (u_n) la suite telle que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=x^n
(u_n) est une suite géométrique de raison x différente de 1.
On a alors :
\sum_{k=0}^{n-1}x^k = \frac{1-x^{n}}{1-x}
On reconnaît alors :
\sum_{k=0}^{n-1}x^k = \frac{f_n(x)}{x-1}
Donc :
f_n(x) = (x-1) \sum_{k=0}^{n-1}x^k
On vient de démontrer la conjecture dans le cas où x est différent de 1.
Dans le cas ou x=1, la conjecture est immédiatement vérifiée.
On vient donc de démontrer que :
\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1
La somme des n premiers termes de la suite (x^n) est donc :
\sum_{k=0}^{n-1}x^k = \frac{1-x^{n}}{1-x}