Première ES 2016-2017

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Résoudre une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation pouvant se ramener à une équation de la forme \(\displaystyle{ax^2+bx+c=0}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\).

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation : \(\displaystyle{2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3}\)

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

Si ce n'est pas déjà le cas, on regroupe tous les termes dans le même membre de l'équation pour se ramener à une équation du type \(\displaystyle{ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\).

On regroupe tous les termes du même côté de l'égalité. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2x^2 -3x+7-5x^2-4x+3=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow-3x^2-7x+10=0}\)

Etape 2

Résoudre l'équation obtenue précédemment

Il s'agit désormais de déterminer les racines, s'il en existe, du trinôme du second degré \(\displaystyle{ax^2+bx+c}\) obtenu précédemment.
On calcule le discriminant \(\displaystyle{ \Delta}\) et on conclut :

  • Si \(\displaystyle{\Delta>0}\), l'équation admet deux racines réelles distinctes que l'on calcule :
    \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
  • Si \(\displaystyle{\Delta=0}\), l'équation admet une racine double que l'on calcule \(\displaystyle{x_0=\dfrac{-b}{2a}}\).
  • Si \(\displaystyle{\Delta<0}\), l'équation n'admet pas de racine réelle.

Avant d'utiliser la méthode de résolution d'une équation par calcul du discriminant, vérifier que le trinôme n'est pas directement factorisable (identité remarquable ou facteur commun par exemple).

Résoudre l'équation : \(\displaystyle{2x^2+3x+2=x^2+x+1}\)

En regroupant tous les termes du même côté de l'égalité on obtient :

\(\displaystyle{2x^2+3x+2-x^2-x-1=0}\)

d'où : \(\displaystyle{x^2+2x+1=0}\)

On reconnaît l'identité remarquable \(\displaystyle{\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2}\) avec \(\displaystyle{a=x}\) et \(\displaystyle{b=1}\)

L'équation devient donc : \(\displaystyle{\left(x+1\right)^2 =0}\)

Elle a pour unique solution : \(\displaystyle{x=-1}\)

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation : \(\displaystyle{3x^2+2x+2=x^2-x+2}\)

En regroupant tous les termes du même côté de l'égalité on obtient :

\(\displaystyle{3x^2+2x+2-x^2+x-2=0}\)

Soit \(\displaystyle{2x^2+3x=0}\)

En factorisant on obtient :

\(\displaystyle{x\left(2x+3\right)=0}\), équation qui admet deux solutions :

\(\displaystyle{x=0}\) et \(\displaystyle{x=\dfrac{-3}{2}}\).

Déterminer les solutions de l'équation \(\displaystyle{2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3}\) revient donc à résoudre l'équation :

\(\displaystyle{-3x^2-7x+10=0}\)

On commence par calculer le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\), avec \(\displaystyle{a=-3}\), \(\displaystyle{b=-7}\) et \(\displaystyle{c=10}\).

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac=\left(-7\right)^2-4\times\left(-3\right)\times10=49+120=169=13^2}\)

\(\displaystyle{\Delta>0}\), l'équation \(\displaystyle{-3x^2-7x+10=0}\) admet donc deux solutions réelles distinctes :

\(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{169}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{7+13}{\left(-6\right)}=\dfrac{-20}{6}=\dfrac{-10}{3}}\)

\(\displaystyle{x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{169}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{7-13}{-6}=\dfrac{-6}{-6}=1}\)

Les solutions de l'équation \(\displaystyle{2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3}\) sont donc \(\displaystyle{\dfrac{-10}{3}}\) et 1.

Chapitre 2 Les trinômes du second degré
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