Première ES 2015-2016
Kartable
Première ES 2015-2016

Déterminer des réels a, b et c pour factoriser un polynôme

On a un polynôme P de degré 3 de coefficients connus.

Si on sait qu'elle existe, on peut déterminer les coefficients a, b et c de la forme factorisée de P tels que P(x)=(xx0)(ax2+bx+c).

Soit le polynôme, défini par :

x, P(x)=4x32x27x+5.

Déterminer les réels a, b et c tels que :

x, P(x)=(x1)(ax2+bx+c).

Etape 1

Développer l'expression comportant les inconnues

On a, x, P(x)=(xx0)(ax2+bx+c).

On développe l'expression factorisée de P.

On a :

x, P(x)=(x1)(ax2+bx+c).

On développe l'expression factorisée de P :

P(x)=ax3+bx2+cxax2bxc

Etape 2

Regrouper les termes par puissance de x

On regroupe les termes par puissance de x, puis on factorise par chaque puissance de x. On obtient une expression de la forme :

P(x)=(...)x3+(...)x2+(...)x+(...)

On regroupe les termes par puissance de x :

P(x)=ax3+bx2ax2bx+cxc

P(x)=(a)x3+(ba)x2+(cb)x+(c)

Etape 3

Rappeler l'écriture du polynôme

On rappelle la forme développée du polynôme P dont les coefficients sont connus.

On rappelle que, x, P(x)=4x32x27x+5

Etape 4

Poser le système

On a deux formes de polynôme différentes. On identifie les coefficients des termes de même degré qui doivent être égaux.

On obtient alors un système à quatre équations (une pour chaque coefficient).

On a, pour tout réel x,

  • P(x)=ax3+(ba)x2+(cb)xc
  • P(x)=4x32x27x+5

On identifie terme à terme les coefficients de même degré qui doivent être égaux.

On obtient le système suivant :

a=4ba=2cb=7c=5

Etape 5

Résoudre le système

On résout le système et on détermine les valeurs de a, b et c..

On résout :

a=4ba=2cb=7c=5

a=4b=2+ac=5

a=4b=2c=5

Etape 6

Conclure

On donne l'écriture de la forme factorisée de P en remplaçant a, b et c par les valeurs trouvées.

P(x)=(xx0)(ax2+bx+c)

On en déduit l'écriture de la forme factorisée de P :

Pour tout réel x, P(x)=(x1)(4x2+2x5)

Il est facile de vérifier le résultat obtenu en développant la forme factorisée de P et en comparant avec la forme développée.

On a trouvé :

P(x)=(x1)(4x2+2x5)

On développe. Pour tout réel x :

P(x)=4x3+2x25x4x22x+5

P(x)=4x32x27x+5

C'est bien la forme développée de P(x), le résultat trouvé est donc correct.

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