Première ES 2015-2016
Kartable
Première ES 2015-2016

Donner le signe d'un trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est de la forme P(x)=ax2+bx+c. On sait déterminer son signe selon les valeurs de x.

Déterminer le signe du trinôme : P(x)=x23x+2

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme P(x)=ax2+bx+c où :

  • a est le coefficient de x2
  • b est le coefficient de x
  • c est le terme constant

Pour le trinôme P(x)=x23x+2, on a :

  • a=1
  • b=3
  • c=2
Etape 2

Calculer le discriminant Δ

Le discriminant est : Δ=b24ac.

On calcule le discriminant Δ :

Δ=b24ac

Δ=(3)24×1×2

Δ=98

Δ=1

Etape 3

Enoncer la conclusion selon le signe de Δ

Cas 1

Δ>0

Le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur.

Cas 2

Δ=0

Le trinôme est du signe de a et s'annule en x0=b2a

Cas 3

Δ<0

Le trinôme est toujours du signe de a (il ne s'annule jamais).

Ici, Δ>0.

Le trinôme est donc du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.

Etape 4

Calculer les racines de P si nécessaire

Cas 1

Δ>0

Le trinôme admet deux racines distinctes x1 et x2 avec :

  • x1=bΔ2a
  • x2=b+Δ2a
Cas 2

Δ=0

Le trinôme admet une racine double x0=b2a.

Cas 3

Δ<0

Le trinôme n'admet pas de racine, on saute donc cette étape.

Δ>0, le trinôme P(x)=x23x+2 admet donc deux racines distinctes qui sont :

x1=bΔ2a=(3)12×1=312=1

x2=b+Δ2a=(3)+12×1=3+12=2

Etape 5

Dresser le tableau de signes

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme.

On obtient le tableau de signes du trinôme P(x)=x23x+2 :

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