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Donner le signe d'un trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est de la forme \(\displaystyle{P\left(x\right)=ax^2+bx+c}\). On sait déterminer son signe selon les valeurs de x.

Déterminer le signe du trinôme : \(\displaystyle{P\left(x\right)=x^2-3x+2}\)

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme \(\displaystyle{P\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) où :

  • a est le coefficient de x2
  • b est le coefficient de x
  • c est le terme constant

Pour le trinôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=x^2-3x+2}\), on a :

  • \(\displaystyle{a=1}\)
  • \(\displaystyle{b=-3}\)
  • \(\displaystyle{c=2}\)
Etape 2

Calculer le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\)

Le discriminant est : \(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\).

On calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = \left(-3\right)^{2} - 4\times1\times2}\)

\(\displaystyle{\Delta = 9-8}\)

\(\displaystyle{\Delta = 1}\)

Etape 3

Enoncer la conclusion selon le signe de \(\displaystyle{\Delta}\)

Cas 1

\(\displaystyle{\Delta>0}\)

Le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur.

Cas 2

\(\displaystyle{\Delta=0}\)

Le trinôme est du signe de a et s'annule en \(\displaystyle{x_0=\dfrac{-b}{2a}}\)

Cas 3

\(\displaystyle{\Delta<0}\)

Le trinôme est toujours du signe de a (il ne s'annule jamais).

Ici, \(\displaystyle{\Delta >0 }\).

Le trinôme est donc du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.

Etape 4

Calculer les racines de P si nécessaire

Cas 1

\(\displaystyle{\Delta>0}\)

Le trinôme admet deux racines distinctes \(\displaystyle{x_{1}}\) et \(\displaystyle{x_2}\) avec :

  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
Cas 2

\(\displaystyle{\Delta=0}\)

Le trinôme admet une racine double \(\displaystyle{x_0=\dfrac{-b}{2a}}\).

Cas 3

\(\displaystyle{\Delta<0}\)

Le trinôme n'admet pas de racine, on saute donc cette étape.

\(\displaystyle{\Delta>0}\), le trinôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=x^2-3x+2}\) admet donc deux racines distinctes qui sont :

\(\displaystyle{\begin{align}x_{1} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3-1}{2} \\ &= 1\end{align}}\)

\(\displaystyle{\begin{align}x_{2} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3+1}{2} \\ &= 2\end{align}}\)

Etape 5

Dresser le tableau de signes

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme.

On obtient le tableau de signes du trinôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=x^2-3x+2}\) :

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