Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Déterminer la forme canonique d'un trinôme

Méthode 1

En utilisant la formule

Soient a, b et c trois réels avec a non nul. La forme canonique du trinôme f(x)=ax2+bx+c est f(x)=a(xα)2+β, avec :

  • α=b2a
  • β=f(α)=Δ4a

S'il n'est pas demandé de détailler la mise sous forme canonique, on peut utiliser ces formules pour déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur par :

x,f(x)=2x24x+1

Donner, en utilisant les formules du cours, la forme canonique de f.

Etape 1

Calculer α

Si le trinôme, est de la forme f(x)=ax2+bx+c, on identifie les coefficients a et b.

On a α=b2a.

Ici, on a x,f(x)=2x24x+1. Ainsi :

  • a=2
  • b=4

On calcule :

α=b2a=42×2=44=1

Etape 2

Calculer β

On a :

β=f(α)=Δ4a

On calcule donc β en utilisant la valeur du discriminant Δ (notamment s'il a déjà été calculé avant) ou en calculant f(α).

On ne connaît pas déjà la valeur de Δ, on calcule donc :

β=f(α)=f(1)=2×124×1+1=1

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique f(x)=a(xα)2+β. On remplace les valeurs de α et β obtenues dans la formule.

Or, on sait que le trinôme a pour forme canonique f(x)=a(xα)2+β.

On obtient ainsi :

x,f(x)=2(x1)21

Méthode 2

En la retrouvant par le calcul

A l'aide d'une technique de calcul précise, on sait déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur par :

x,f(x)=3x212x+18

Donner, en la retrouvant par le calcul, la forme canonique de f.

Etape 1

Factoriser par a

Le trinôme a pour expression f(x)=ax2+bx+c

On factorise d'abord l'expression par a :

f(x)=a(x2+bax+ca)

On factorise l'expression par a=3 :

f(x)=3(x24x+6)

Etape 2

Faire apparaître une identité remarquable

On remarque que :

x2+bax=x2+2×b2ax+b24a2b24a2=(x+b2a)2b24a2

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

f(x)=a[(x+b2a)2b24a2+ca]

On sort les deux termes constants et on les met sur le même dénominateur.

On obtient finalement :

f(x)=a(x+b2a)2b24ac4a

On remarque que :

x24x=x22×2×x+44=(x2)24

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

f(x)=3[(x2)24+6]

Soit f(x)=3[(x2)2+2]

On sort le terme constant de la parenthèse, on obtient finalement :

f(x)=3(x2)2+6

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique, x, f(x)=a(x+b2a)2b24ac4a.

On obtient donc :

x, f(x)=3(x2)2+6

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.