Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Résoudre une équation irrationnelle

Pour résoudre une équation irrationnelle il faut passer tous les termes au carré puis résoudre l'équation du second degré obtenue et enfin confronter les solutions avec l'ensemble de définition de l'équation.

Résoudre l'équation :

2x2+4x6=2x1

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de l'équation

D'après le cours, on sait que u(x) est définie si et seulement si u(x)0.

On résout l'inéquation u(x)0. Le domaine de définition est l'ensemble des intervalles solutions de cette inéquation.

D'après le cours, l'équation est définie si et seulement 2x2+4x60.

On détermine le signe du trinôme 2x2+4x6.

Pour cela, on calcule son discriminant :

Δ1=b24ac

Δ1=424×2×(6)

Δ1=16+48

Δ1=64

Δ1>0 donc le trinôme est du signe de a (positif) sauf entre les racines que l'on détermine :

  • x1=bΔ12a=484=3
  • x2=b+Δ12a=4+84=1

On récapitule le signe du trinôme dans un tableau :

-

Donc l'ensemble de définition de l'équation est D=];3][1;+[.

Etape 2

Transformer l'équation

On passe les deux membres de l'équation au carré. La racine se supprime alors.

On met tous les termes du même côté. Après développement et simplification, l'équation a une forme du type :

ax2+bx+c=0

On élève les deux membres de l'équation au carré. Pour tout réel x appartenant à D :

2x2+4x6=2x1

2x2+4x6=(2x1)2

2x2+4x6=4x24x+1

2x2+8x7=0

Etape 3

Résoudre l'équation

On doit donc déterminer les racines du trinôme du second degré obtenu.

On calcule le discriminant Δ (avec Δ=b24ac ) et on conclut selon le signe de Δ :

  • Si Δ>0, l'équation admet deux racines réelles distinctes que l'on calcule :
    x1=bΔ2a et x2=b+Δ2a
  • Si Δ=0, l'équation admet une racine double que l'on calcule :
    x0=b2a.

  • Si Δ<0, l'équation n'admet pas de racine réelle.

Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant Δ du trinôme 2x2+8x7 :

Δ=b24ac

Δ=824×(2)×(7)

Δ=6456

Δ=8

Δ>0 donc le trinôme admet deux racines réelles :

  • x1=bΔ2a=884=2+22
  • x2=b+Δ2a=8+84=222

Il peut arriver que le membre de gauche de l'équation obtenue ne soit pas un trinôme du second degré (a nul), dans ce cas on peut trouver la ou les racine(s) sans calculer Δ.

Etape 4

Vérifier que les solution(s) appartiennent au domaine de définition

Pour chaque racine, on détermine si elle appartient ou non à l'ensemble de définition de l'équation.

On ne retient que la ou les solution(s) appartenant à l'ensemble de définition.

On a x1=2+222,707

Donc x1];3][1;+[

De même, x2=2221,293

Donc x2];3][1;+[

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant, si elle(s) existe(nt), la ou les solution(s) de l'équation appartenant à l'ensemble de définition.

L'ensemble des solutions de l'équation est :

S={222;2+22}

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