Dans les cas suivants, résoudre l'inéquation proposée.
\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-9}\lt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{x^2+4x+4}{x^2-9}. Pour cela, on étudie d'abord les signes respectifs du numérateur et du dénominateur, puis on dresse un tableau de signes.
Signe de x^2+4x+4
On remarque que, pour tout réel x :
x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2.
Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, x^2+4x+4\geqslant 0
Étude du signe de x^2-9
On remarque que x^2-9=\left(x+3\right)\left(x-3\right).
Le trinôme x^2-9 admet donc deux racines -3 et 3.
Le coefficient du terme de degré 2 du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :
- positif sur \left]-\infty;-3 \right[\cup\left]3;+\infty\right[ ;
- négatif sur \left]-3;3 \right[.
On note de plus que -3 et 3 annulent le dénominateur, ce sont donc des valeurs interdites.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -3;-2 \right[\cup\left] -2;3 \right[
\dfrac{-x^2+5x-10}{4x^2-12x+9}\gt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{-x^2+5x-10}{4x^2-12x+9}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Étude du signe de -x^2+5x-10
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-10\right)\times\left(-1\right)=25-40=-15
\Delta\lt0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) pour tout x\in\mathbb{R}.
Étude du signe de 4x^2-12x+9
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-12\right)^2-4\times4\times9=144-144=0
\Delta=0 donc le trinôme est du signe de a (positif) pour tout x\in\mathbb{R} et s'annule en sa racine x_0.
x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{2\times4}=\dfrac{3}{2}
On note de plus que \dfrac{3}{2} annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\varnothing
\dfrac{-2x^2+x-5}{-3x+7}\lt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{-2x^2+x-5}{-3x+7}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Étude du signe de -2x^2+x-5
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-5\right)=1-40=-39
\Delta\lt0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) pour tout x\in\mathbb{R}.
Étude du signe de -3x+7
-3x+7>0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{7}{3}
L'expression -3x+7 est donc :
- positive sur \left] -\infty;\dfrac{7}{3} \right[ ;
- négative sur \left] \dfrac{7}{3};+\infty \right[.
On note de plus que \dfrac{7}{3} annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;\dfrac{7}{3} \right[
\dfrac{-3x^2+x+4}{-7x+2}\leqslant0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{-3x^2+x+4}{-7x+2}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Étude du signe de -3x^2+x+4
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-3\right)\times4=1+48=49
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et du signe de -a (positif), à l'intérieur des racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{49}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-1-7}{-6}=\dfrac{-8}{-6}=\dfrac{4}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{49}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-1+7}{-6}=\dfrac{6}{-6}=-1
Ainsi, le trinôme est :
- négatif sur \left] -\infty;-1 \right[\cup\left] \dfrac{4}{3};+\infty \right[ ;
- positif sur \left] -1;\dfrac{4}{3}\right[.
Étude du signe de -7x+2
-7x+2>0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{2}{7}
L'expression -7x+2 est donc :
- positive sur \left] -\infty;\dfrac{2}{7} \right[ ;
- négative sur \left] \dfrac{2}{7};+\infty \right[.
On note de plus que \dfrac{2}{7} annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;-1 \right]\cup\left] \dfrac{2}{7};\dfrac{4}{3} \right]
\dfrac{5x+2}{x^2-5x+6}\lt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{5x+2}{x^2-5x+6}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Étude du signe de x^2-5x+6
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times1\times6=25-24=1
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines, et du signe de -a (négatif), à l'intérieur des racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3
Ainsi, le trinôme est :
- positif sur \left] -\infty;2 \right[\cup\left] 3;+\infty \right[ ;
- négatif sur \left] 2;3\right[.
On note de plus que 2 et 3 annulent le dénominateur. Ce sont donc des valeurs interdites.
Étude du signe de 5x+2
5x+2>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{2}{5}
L'expression 5x+2 est donc :
- négative sur \left] -\infty;-\dfrac{2}{5} \right[ ;
- positive sur \left] -\dfrac{2}{5};+\infty \right[.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;-\dfrac{2}{5} \right[\cup\left]2;3 \right[