Deux motocyclistes vont de la ville A à la ville B, distantes de 200 km.
Le second roule à 10 km/h de plus que le premier. Il arrive à B en une heure de moins.
Quelle est la vitesse de chacun des motocyclistes ?
Mise en équation
Soient :
- V la vitesse du premier motocycliste exprimé en km/h.
- T le temps que met le premier motocycliste pour aller de A à B, exprimé en heures.
On a alors :
- La vitesse du second motocycliste est V+10.
- Le temps que met le second motocycliste pour aller de A vers B est T_2=T-1.
Comme on a la relation T=\dfrac{D}{V}, on obtient, puisque la distance est égale à 200 pour les deux motocyclistes :
T_2=T-1
\Leftrightarrow \dfrac{200}{V+10}=\dfrac{200}{V}-1
\Leftrightarrow \dfrac{200}{V+10}-\dfrac{200}{V}+1=0
\Leftrightarrow \dfrac{200 V-200\left(V+10\right)+V\left(V+10\right)}{V\left(V+10\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{200 V-200 V-2\ 000+V^2+10 V}{V\left(V+10\right)}=0
\Leftrightarrow \dfrac{V^2+10 V-2\ 000}{V\left(V+10\right)}=0
\Leftrightarrow V^2+10 V-2\ 000=0 puisque V>0 (il s'agit d'une vitesse)
Il s'agit d'une équation du second degré donc pour la résoudre on calcule le discriminant du trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=10^2-4\times1\times\left(-2\ 000\right)=100+8\ 000=8\ 100
\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines distinctes.
Recherche des racines du trinôme
- V_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-\sqrt{8\ 100}}{2\times1}=\dfrac{-10-90}{2}=\dfrac{-100}{2}=-50
- V_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10+\sqrt{8\ 100}}{2\times1}=\dfrac{-10+90}{2}=\dfrac{80}{2}=40
Comme V est une vitesse donc une valeur positive, la seule qui convienne est 40.
Le premier motocycliste roule donc à 40 km/h et le second à 50 km/h.
Quel est le temps mis par chacun pour parcourir ce trajet ?
Le premier motocycliste parcourt ce trajet en \dfrac{200}{40}=5 h.
Le second motocycliste parcourt ce trajet en \dfrac{200}{50}=4 h.
Le premier motocycliste met 5 heures pour aller de A vers B, tandis que le second met 4 heures pour effectuer le même trajet.