Quelles sont les racines de chacun des polynômes suivants ?
P\left(x\right)=3x^2-7x+5
On calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac
\Delta=\left(-7\right)^2-4\times3\times5
\Delta=49-60
\Delta=-11
\Delta\lt0 donc P ne possède pas de racine.
Le polynôme P n'a pas de racine.
P\left(x\right)=5x^2-3x+1
On calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac
\Delta=\left(-3\right)^2-4\times5\times1
\Delta=9-20
\Delta=-11
\Delta\lt0 donc P ne possède pas de racine.
Le polynôme P n'a pas de racine.
P\left(x\right)=-2x^2+3x+2
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac
\Delta=3^2-4\times\left(-2\right)\times2
\Delta=9+16
\Delta=25
\Delta\gt0 donc P possède deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2}.
Calcul des racines du trinôme
- x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-3-5}{-4}=\dfrac{-8}{-4}=2
- x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-3+5}{-4}=\dfrac{2}{-4}=-\dfrac{1}{2}
Les racines de P sont 2 et -\dfrac{1}{2}.
P\left(x\right)=-5x^2+20x-20
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac
\Delta=20^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-20\right)
\Delta=400-400
\Delta=0
\Delta=0 donc P possède une seule racine x_{0}.
Calcul de la racine du trinôme
x_{0}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-20}{2\times\left(-5\right)}=\dfrac{-20}{-10}=2
La racine de P est 2.
P\left(x\right)=-3x^2-3x+1
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac
\Delta=\left(-3\right)^2-4\times\left(-3\right)\times1
\Delta=9+12
\Delta=21
\Delta\gt0 donc P possède deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2}.
Calcul des racines du trinôme
- x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{21}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{3-\sqrt{21}}{-6}=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{6}
- x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{3+\sqrt{21}}{-6}=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{6}
Les racines de P sont \dfrac{-3+\sqrt{21}}{6} et \dfrac{-3-\sqrt{21}}{6}
P\left(x\right)=-2x^2-12x-18
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac
\Delta=\left(-12\right)^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-18\right)
\Delta=144-144
\Delta=0
\Delta=0 donc P possède une seule racine notée x_{0}.
Calcul de la racine du trinôme
x_{0}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{12}{-4}=-3
La racine de P est -3.
P\left(x\right)=2x^2-2x-12
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac
\Delta=\left(-2\right)^2-4\times2\times\left(-12\right)
\Delta=4+96
\Delta=100
\Delta\gt0 donc P possède deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2}.
Calcul des racines du trinôme
- x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{100}}{2\times2}=\dfrac{2-10}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2
- x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+\sqrt{100}}{2\times2}=\dfrac{2+10}{4}=\dfrac{12}{4}=3
Les racines de P sont -2 et 3.