Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?

5x^2+8x-1\lt 2x^2-x+4

S=\left] \dfrac{-9-\sqrt{141}}{6};\dfrac{-9+\sqrt{141}}{6} \right[

S=\left[ \dfrac{-9-\sqrt{141}}{6};\dfrac{-9+\sqrt{141}}{6} \right]

S=\left] -\infty; \dfrac{-9-\sqrt{141}}{6} \right[\cup \left]\dfrac{-9+\sqrt{141}}{6};+\infty \right[

S=\left] -\infty; \dfrac{-9-\sqrt{141}}{6} \right] \cup \left[ \dfrac{-9+\sqrt{141}}{6};+\infty \right[

Etape 1

Simplification de l'inéquation

5x^2+8x-1\lt 2x^2-x+4\Leftrightarrow 3x^2+9x-5\lt0

On dresse donc le tableau de signes du trinôme du second degré pour résoudre l'inéquation.

Etape 2

Calcul du discriminant

On considère le trinôme P\left(x\right)=3x^2+9x-5

\Delta=b^2-4ac=9^2-4\times3\times\left(-5\right)=81+60=141

\Delta\gt0, on en déduit que le trinôme est du signe de a, c'est-à-dire positif (a = 3), à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines x_1 et x_2, et du signe contraire, c'est-à-dire négatif, entre les racines.

Etape 3

Calcul des racines

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9-\sqrt{141}}{2\times3}=\dfrac{-9-\sqrt{141}}{6}
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9+\sqrt{141}}{2\times3}=\dfrac{-9+\sqrt{141}}{6}

Etape 4

Tableau de signes

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :

Pour résoudre l'inéquation, on cherche dans le tableau de signes les valeurs de x telles que 3x^2+9x-5\lt0

S=\left] \dfrac{-9-\sqrt{141}}{6};\dfrac{-9+\sqrt{141}}{6} \right[

Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?

2x^2+x-3\leqslant-x^2+7x

S=\left\{ 1 \right\}

S=\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}

S=\left[ 1-\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right]

S=\left]-\infty; \dfrac{6-\sqrt{72}}{6} \right]\cup\left[ \dfrac{6+\sqrt{72}}{6};+\infty \right[

Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?

3x\left(x-1\right)\lt\left(2x-3\right)\left(x+1\right)

S=\varnothing

S=\left] 1;3 \right[

S=\left] -\infty;1 \right[\cup\left] 3;+\infty \right[

S=\left]-\infty; \dfrac{3}{2} \right[\cup\left]5;+\infty \right[

Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?

7x^2+7x-1\leqslant\left(3x-5\right)\left(x-2\right)

S=\varnothing

S=\left[ \dfrac{-9-5\sqrt{5}}{4};\dfrac{-9+5\sqrt{5}}{4} \right]

S=\left] \dfrac{-9-5\sqrt{5}}{4};\dfrac{-9+5\sqrt{5}}{4} \right[

S=\left]-\infty;\dfrac{-9-5\sqrt{5}}{4} \right]\cup\left[\dfrac{-9+5\sqrt{5}}{4};+\infty \right[

Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?

4x-2\gt-3x+x^2-1

S=\varnothing

S=\left[ -\infty;\dfrac{7-\sqrt{45}}{2} \right[\cup\left] \dfrac{7+\sqrt{45}}{2};+\infty \right[

S=\left] \dfrac{7-\sqrt{5}}{2};\dfrac{7+\sqrt{5}}{2} \right[

S=\left] \dfrac{7-\sqrt{45}}{2};\dfrac{7+\sqrt{45}}{2} \right[

Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?

3x^2-2x-4\leqslant2x-5

S=\varnothing

S=\left[ \dfrac{1}{3};1 \right]

S=\left] \dfrac{1}{3};1 \right[

S=\left]-\infty; \dfrac{1}{3} \right[\cup\left]1;+\infty \right[