Soit P le polynôme défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=-x^3+7x^2-16x+16
Calculer P(4).
P\left(4\right)=-\left(4\right)^3+7\times\left(4\right)^2-16\times4+16=-64+112-64+16=0
P\left(4\right)=0 donc 4 est une racine du polynôme P.
Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x : P\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(ax^2+bx+c\right).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
On développe donc l'expression \left(x-4\right)\left(ax^2+bx+c\right) et on regroupe ses termes par degré, afin d'obtenir une forme polynomiale :
\left(x-4\right)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+bx^2+cx-4ax^2-4bx-4c=ax^3+\left(b-4a\right)x^2+\left(c-4b\right)x-4c
On en déduit que le polynôme P est égal à cette expression si et seulement si les réels a, b et c vérifient :
\begin{cases} a=-1 \cr \cr b-4a=7 \cr \cr c-4b=-16 \cr \cr -4c=16 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=-1 \cr \cr b+4=7 \cr \cr c-4b=-16 \cr \cr c=-4 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=-1 \cr \cr b=3 \cr \cr c=-4 \end{cases}
Pour tout réel x, on a : P\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(-x^2+3x-4\right).
En déduire les éventuelles solutions de l'équation : -x^3+7x^2-16x+16=0.
Cela est équivalent à résoudre :
\left(x-4\right)\left(-x^2+3x-4\right)=0
\left(x-4\right)\left(-x^2+3x-4\right)=0
\Leftrightarrow x-4=0 ou -x^2+3x-4=0
Résolution de x - 4 = 0
x-4=0\Leftrightarrow x=4
Résolution de -x^2+3x-4=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-4\right)=9-16=-7
\Delta\lt0 donc l'équation n'admet pas de solution.
S=\left\{ 4\right\}