On considère l'équation suivante :
\sqrt{-x^2+3x-2}=-x+2
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : -x^2+3x-2\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme -x^2+3x-2
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=9-8=1
\Delta\gt0 et a\lt0 donc le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif à l'intérieur.
Calcul des racines
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-3-1}{-2}=\dfrac{-4}{-2}=2
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-3+1}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \left[1;2 \right].
Quelle est la résolution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
-x+2\geqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant2
Résolution de A=B^2
-x^2+3x-2=\left(-x+2\right)^2
\Leftrightarrow -x^2+3x-2=x^2-4x+4
\Leftrightarrow -2x^2+7x-6=0
Calcul de \Delta
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-6\right)=49-48=1
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{1}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-7-1}{-4}=\dfrac{-8}{-4}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+\sqrt{1}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-7+1}{-4}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{3}{2}
Recherche des solutions de l'équation
Les valeurs x_1 et x_2 sont bien dans l'ensemble de définition \left[ 1;2 \right] et vérifient la condition x\leqslant2.
L'équation a deux solutions \dfrac{3}{2} et 2.